- Nazwa przedmiotu:
- Fraktale
- Koordynator przedmiotu:
- dr Robert Małysz
- Status przedmiotu:
- Fakultatywny ograniczonego wyboru
- Poziom kształcenia:
- Studia II stopnia
- Program:
- Informatyka
- Grupa przedmiotów:
- Wspólne
- Kod przedmiotu:
- Semestr nominalny:
- 2 / rok ak. 2009/2010
- Liczba punktów ECTS:
- 4
- Liczba godzin pracy studenta związanych z osiągnięciem efektów uczenia się:
- Liczba punktów ECTS na zajęciach wymagających bezpośredniego udziału nauczycieli akademickich:
- Język prowadzenia zajęć:
- polski
- Liczba punktów ECTS, którą student uzyskuje w ramach zajęć o charakterze praktycznym:
- Formy zajęć i ich wymiar w semestrze:
-
- Wykład30h
- Ćwiczenia0h
- Laboratorium15h
- Projekt0h
- Lekcje komputerowe0h
- Wymagania wstępne:
- Analiza matematyczna, Algebra liniowa z geometrią, Programowanie, przedmioty wskazane/pomocnicze - Teoria miary, Grafika komputerowa, Analiza funkcjonalna, Procesy stochastyczne
- Limit liczby studentów:
- Cel przedmiotu:
- do uzupełnienia
- Treści kształcenia:
- • Fraktale klasyczne i rózne definicje wymiarów
1. Klasyczne fraktale (trójkąt Sierpińskiego, zbiór Cantora, krzywa Kocha, zbiory Julii)
2. Wymiar Minkowskiego, packing dimension
3. Wymiar Hausdorffa, miara Hausdorffa, własności wymiarów
• Fraktale deterministyczne
4. System iteracyjny (iterated function system, IFS), operator Hutchinsona, twierdzenia Banacha
5. Wymiary fraktali samopodobnych i samoafinicznych
6. Funkcje interpolacji fraktalnej, krzywe Peano, funkcje Weierstrassa
7. Wymiar i własności funkcji interpolacji fraktalnych
8. Powierzchnie fraktalne (m. in. powierzchnie interpolacji fraktalnej dwuliniowej), własności
9. Zbiory Julii i zbiór Mandelbrota
• Fraktale losowe i samopodobne procesy stochastyczne
10. Fraktale losowe, modyfikacje fraktali deterministycznych
11. Ruchy Browna, ułamkowe ruchy Browna (fractional Brownian motion, fBm), procesy samopodobne
12. Twierdzenie Frostmanna, wymiar Hausdorffa procesów samopodobnych i ułamkowych ruchów Browna
• Zastosowania geometrii fraktalnej
13. Fraktalne krajobrazy
14. Fraktalna kompresja obrazów
15. Wykładnik Hursta, zastosowania geometrii fraktalnej w ekonomii i fizyce, prawa skalowania
- Metody oceny:
- W oparciu o wykład studenci tworzą programy komputerowe. Przykładowe tematy programów znajdują się na stronie www.mini.pw.edu.pl/~malysz
- Egzamin:
- Literatura:
- 1. Barnsley, B. - Fractals everywhere, Acad. Press Inc., 1989.
2. Falconer, K. - Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications. John Wiley & Sons, 2003.
3. Mandelbrot, B.B. - Fractals and Scaling in Finance. Springer 1997
4. Massopust, P - Fractal Functions, Fractal Surfaces, and Wavelets, Academic Press, 1995.
5. Peitgen, O., Jurgens, H., Saupe, D. - Fraktale PWN 1995
6. Peters, E.E. - Fractal Markets Analysis. John Wiley & Sons, 1994.
7. Skarbek, Wł. - Metody reprezentacji obrazów cyfrowych Akademicka Oficyna Wydawnicza 1993 .
- Witryna www przedmiotu:
- Uwagi:
Efekty uczenia się