- Nazwa przedmiotu:
- Analiza funkcjonalna
- Koordynator przedmiotu:
- Prof. dr hab. Grzegorz Świątek
- Status przedmiotu:
- Obowiązkowy
- Poziom kształcenia:
- Studia I stopnia
- Program:
- Matematyka i Analiza Danych
- Grupa przedmiotów:
- Wspólne
- Kod przedmiotu:
- 1120-MA000-LSP-0352
- Semestr nominalny:
- 4 / rok ak. 2023/2024
- Liczba punktów ECTS:
- 5
- Liczba godzin pracy studenta związanych z osiągnięciem efektów uczenia się:
- 1. godziny kontaktowe – 68 h; w tym
a) obecność na wykładach – 30 h
b) obecność na ćwiczeniach – 30 h
c) obecność na egzaminie – 3 h
d) konsultacje – 5 h
2. praca własna studenta – 55 h; w tym
a) przygotowanie do ćwiczeń i do kolokwiów – 30 h
b) zapoznanie się z literaturą – 10 h
c) przygotowanie do egzaminu – 15 h
Razem 128 h, co odpowiada 5 pkt. ECTS
- Liczba punktów ECTS na zajęciach wymagających bezpośredniego udziału nauczycieli akademickich:
- 1. obecność na wykładach – 30 h
2. obecność na ćwiczeniach – 30 h
3. obecność na egzaminie – 3 h
4. konsultacje – 5 h
Razem 68 h, co odpowiada 3 pkt. ECTS
- Język prowadzenia zajęć:
- polski
- Liczba punktów ECTS, którą student uzyskuje w ramach zajęć o charakterze praktycznym:
- .
- Formy zajęć i ich wymiar w semestrze:
-
- Wykład30h
- Ćwiczenia30h
- Laboratorium0h
- Projekt0h
- Lekcje komputerowe0h
- Wymagania wstępne:
- Analiza matematyczna 1-3, algebra liniowa
- Limit liczby studentów:
- .
- Cel przedmiotu:
- Zaznajomienie z podstawowymi twierdzeniami analizy funkcjonalnej, wraz z przykładami i typowymi zastosowaniami.
- Treści kształcenia:
- 1. Przestrzenie liniowe unormowane, nierówności i normy całkowe.
2. Zupełność, zwartość, przestrzenie Banacha.
3. Przestrzeń funkcyjna C^0 na przestrzeni zwartej i twierdzenie Ascoliego-Arzeli.
4. Produkty skalarne, ortogonalność i przestrzenie Hilberta.
5. Operatory liniowe ciągłe.
6. Dualność i twierdzenie Hahna-Banacha.
7. Przestrzenie dualne i słaba zbieżność.
8. Druga przestrzeń dualna, przestrzenie refleksywne i zbieżność słaba z gwiazdką.
9. Operatory ograniczone na przestrzeni Hilberta i ich sprzężenia.
10. Operatory normalne, samosprzężone i unitarne, pojęcie spektrum.
11. Operatory zwarte i ich własności.
12. Teoria spektralna operatorów zwartych w przestrzeniach Hilberta.
13. Alternatywa Fredholma.
14. Zastosowanie w teorii Sturma-Liouville'a.
- Metody oceny:
- 1. Ocena punktowa z ćwiczeń (Ć) wyrazi się liczbą w skali (0-100) wystawioną wg. kryteriów ustalonych przez prowadzącego ćwiczenia.
2. Do zaliczenia ćwiczeń potrzeba Ć>=50.
3. Przy sprawdzianach pisemnych będą stosowane procedury wydziałowe opisane w http://www.mini.pw.edu.pl/~gswiatek/FILES/sprawdziany.pdf
4. Egzamin pisemny będzie się składał z trzech pytań teoretycznych, w tym co najmniej jednego partego o przykład, i zostanie oceniony w skali (0-50) – ocena (E). Można będzie do niego przystąpić bez zaliczenia ćwiczeń.
5. Będą zawczasu podane zagadnienia do przygotowania do części teoretycznej egzaminu.
6. Nie będzie egzaminu ustnego.
7. Ocena końcowa (K) w skali (0-200) wyrazi się poprzez K=max(Ć+2E,4E-40).
8. Ocena z przedmiotu będzie zależała od (K). K>=100 będzie dolną granicą oceny dostatecznej, a szczegółowa skala zostanie podana później.
9. Pozytywna ocena z przedmiotu implikuje zaliczenie ćwiczeń.
- Egzamin:
- tak
- Literatura:
- 1. J. Musielak: Wstęp do analizy funkcjonalnej, PWN Warszawa 1989
2. W. Rudin: Analiza funkcjonalna, PWN Warszawa 1992
3. B. Rynne, M. Youngson: Linear Functional Analysis, 2ed., Springer 2008
4. A. Kirillov, A. Gvishani: Theorems and Problems in Functional Analysis, Springer 1982
5. W. Kołodziej: Wybrane rozdziały analizy matematycznej, PWN Warszawa 1982
- Witryna www przedmiotu:
- http://www.mini.pw.edu.pl/~gswiatek/
- Uwagi:
- .
Efekty uczenia się
Profil ogólnoakademicki - wiedza
- Charakterystyka AF_W01
- Ma wiedzę w zakresie przestrzeni Banacha i przestrzeni Hilberta oraz w zakresie teorii operatorów liniowych w tych przestrzeniach.
Weryfikacja: Egzamin, kolokwia, kartkówki
Powiązane charakterystyki kierunkowe:
MAD1_W09
Powiązane charakterystyki obszarowe:
I.P6S_WG, II.X.P6S_WG.1
- Charakterystyka AF_W02
- Zna pojęcia przestrzeni dualnej oraz słabej zbieżności w przestrzeniach unormowanych, zna podstawy teorii spektralnej operatorów zwartych.
Weryfikacja: Egzamin, kolokwia, kartkówki
Powiązane charakterystyki kierunkowe:
MAD1_W05
Powiązane charakterystyki obszarowe:
I.P6S_WG, II.X.P6S_WG.1
- Charakterystyka AF_W03
- Zna zastosowania analizy funkcjonalnej w teorii równań różniczkowych i całkowych.
Weryfikacja: Egzamin, kolokwia, kartkówki
Powiązane charakterystyki kierunkowe:
MAD1_W09
Powiązane charakterystyki obszarowe:
I.P6S_WG, II.X.P6S_WG.1
Profil ogólnoakademicki - umiejętności
- Charakterystyka AF_U01
- Potrafi badać własności przestrzeni unormowanych i operatorów w tych przestrzeniach.
Weryfikacja: Egzamin, kolokwia, kartkówki
Powiązane charakterystyki kierunkowe:
MAD1_U05, MAD1_U09
Powiązane charakterystyki obszarowe:
I.P6S_UW, I.P6S_UK, II.X.P6S_UW.1.o, II.X.P6S_UW.2
Profil ogólnoakademicki - kompetencje społeczne
- Charakterystyka AF_K01
- Potrafi odpowiednio określić priorytety służące realizacji określonego przez siebie lub innych zadania
Weryfikacja: Egzamin, kolokwia, kartkówki
Powiązane charakterystyki kierunkowe:
MAD1_K03
Powiązane charakterystyki obszarowe:
I.P6S_KK
- Charakterystyka AF_K02
- Rozumie potrzebę podnoszenia kompetencji zawodowych i osobistych
Weryfikacja: Egzamin, kolokwia, kartkówki
Powiązane charakterystyki kierunkowe:
MAD1_K03
Powiązane charakterystyki obszarowe:
I.P6S_KK