Drukuj Eksport do pliku (MS Word)
Nazwa przedmiotu:
Algebra z geometrią
Koordynator przedmiotu:
dr inż. Agata Pilitowska, Wydział MiNI PW
Status przedmiotu:
Obowiązkowy
Poziom kształcenia:
Studia I stopnia
Program:
Fizyka Techniczna
Grupa przedmiotów:
Obowiązkowe
Kod przedmiotu:
Semestr nominalny:
1 / rok ak. 2011/2012
Liczba punktów ECTS:
5
Liczba godzin pracy studenta związanych z osiągnięciem efektów uczenia się:
Liczba punktów ECTS na zajęciach wymagających bezpośredniego udziału nauczycieli akademickich:
Język prowadzenia zajęć:
polski
Liczba punktów ECTS, którą student uzyskuje w ramach zajęć o charakterze praktycznym:
Formy zajęć i ich wymiar w semestrze:
  • Wykład30h
  • Ćwiczenia15h
  • Laboratorium0h
  • Projekt0h
  • Lekcje komputerowe0h
Wymagania wstępne:
Przed rozpoczęciem nauki przedmiotu student powinien: - posiadać umiejętność logicznego myślenia w prowadzeniu rozumowań matematycznych, w szczególności w dowodzeniu twierdzeń - swobodnie wykonywać podstawowe działania algebraiczne w zakresie liczb rzeczywistych.
Limit liczby studentów:
Cel przedmiotu:
W wyniku zaliczenia przedmiotu student uzyskuje umiejętność rozwiązywania zagadnień związanych z prostą i płaszczyzną w przestrzeniach rzeczywistych. Posiada wiedzę na temat podstawowych struktur algebraicznych w szczególności grup permutacji i ciała liczb zespolonych. Nabywa wiedzę o przekształcaniu macierzy i obliczaniu wyznaczników. Potrafi rozwiązywać układy równań liniowych. Swobodnie operuje wektorami w przestrzeniach wektorowych nad ciałami liczb rzeczywistych i zespolonych. Poznaje przekształcenia liniowe. Potrafi sprowadzić macierz do postaci diagonalnej i znaleźć bazę ortogonalną w przestrzeniach unitarnych.
Treści kształcenia:
Wykład. 1. Geometria analityczna w przestrzeniach rzeczywistych: Punkty i wektory. Nierówność Schwartza. Norma wektora, nierówność trójkąta. Iloczyn skalarny, wektorowy, mieszany wektorów. Równanie prostej i płaszczyzny. 2. Podstawowe struktury algebraiczne: Grupy, grupy permutacji. Pierścienie i ciała. Ciało liczb zespolonych. 3. Układy równań liniowych: Macierze i działania na macierzach. Metoda eliminacji Gaussa. Macierz odwrotna i sposoby jej obliczania. Metody rozwiązywania układów równań liniowych. Twierdzenie Kroneckera-Capelliego. Podstawowe własności i metody obliczania wyznaczników. Przykłady zastosowania wyznaczników. 4. Przestrzenie i podprzestrzenie wektorowe nad ciałami liczb rzeczywistych i zespolonych: Układy wektorów, liniowa niezależność. Baza i wymiar przestrzeni wektorowej. Suma i suma prosta podprzestrzeni wektorowych. 5. Odwzorowania liniowe: Jądro i obraz przekształcenia liniowego. Macierz przekształcenia liniowego w różnych bazach. Macierz złożenia przekształceń liniowych. Macierz przekształcenia odwrotnego. Macierze zmiany bazy. 6. Postać kanoniczna macierzy i operatorów: Podprzestrzenie niezmiennicze. Wartości własne i wektory własne macierzy i odwzorowania liniowego. Diagonalizacja macierzy odwzorowania liniowego. 7. Przestrzenie unitarne: Formy dwuliniowe hermitowskie. Iloczyn skalarny. Ortogonalizacja Gram-Schmidta. Bazy ortonormalne. Macierze i operatory hermitowskie. Twierdzenie spektralne dla operatorów hermitowskich. Ćwiczenia: 1. Rozwiązywanie zagadnień dotyczących prostej i płaszczyzny w przestrzeniach rzeczywistych. 2. Przykłady grup i pierścieni. Rozkład permutacji na iloczyn cykli. Znajdowanie znaku permutacji. Rozwiązywanie równań w ciałach skończonych. 3. Przekształcanie macierzy metodą eliminacji Gaussa. Obliczanie macierzy odwrotnej. Rozwiązywanie układów równań liniowych. Obliczanie wyznaczników. Przykłady zastosowania wyznaczników. 4. Przykłady przestrzeni i podprzestrzeni wektorowych. Badanie liniowej niezależności wektorów. Znajdowanie bazy i obliczanie wymiaru przestrzeni wektorowych. 5. Przykłady odwzorowań liniowych. Obliczanie jądra i obrazu przekształcenia liniowego. Znajdowanie macierzy przekształcenia liniowego w różnych bazach. Obliczanie macierzy złożenia przekształceń liniowych oraz macierzy przekształcenia odwrotnego. Szukanie macierzy zmiany bazy. 6. Obliczanie wartości własnych i wektorów własnych macierzy i odwzorowania liniowego. Sprowadzanie macierzy do postaci diagonalnej. 7. Znajdowanie bazy ortogonalnej w przestrzeniach unitarnych metodą ortogonalizacji Gram-Schmidta.
Metody oceny:
W trakcie semestru przewidziane są na ćwiczeniach dwa kolokwia, za które można uzyskać po maksimum 20 punktów. Końcową ocenę z przedmiotu student uzyskuje na podstawie egzaminu. Egzamin składa się z części pisemnej i z części ustnej. Studenci, którzy uzyskają minimum 28 punktów z ćwiczeń są zwolnieni z części pisemnej egzaminu i przystępują jedynie do części ustnej, która weryfikuje wiadomości teoretyczne. W trakcie egzaminu ustnego każdy student zobowiązany jest do odpowiedzi na 3 losowo wybrane pytania. Ocena końcowa z egzaminu uzależniona jest od jakości odpowiedzi na zadane pytania. Dla osób, które uzyskały z ćwiczeń mniej niż 28 punktów przedmiot kończy się egzaminem pisemnym sprawdzającym umiejętność rozwiązywania zadań. Na egzaminie pisemnym można uzyskać maksimum 60 punktów. Osoby, które uzyskają łącznie z ćwiczeń i z egzaminu co najmniej 51 punktów otrzymają z egzaminu ocenę dostateczną. Osoby, które uzyskają więcej niż 60 punktów mogą podwyższyć proponowaną ocenę w trakcie egzaminu ustnego. Ocena końcowa z egzaminu uzależniona jest od jakości odpowiedzi na zadane pytania. Student ma prawo do egzaminu poprawkowego. W części pisemnej egzaminu poprawkowego można uzyskać maksimum 60 punktów. Osoby, które uzyskają co najmniej 30 punktów otrzymują z egzaminu ocenę dostateczną. Osoby, które uzyskają co najmniej 34 punkty mogą podwyższyć proponowaną ocenę w trakcie egzaminu ustnego. Ocena końcowa z egzaminu uzależniona jest od jakości odpowiedzi na zadane pytania.
Egzamin:
Literatura:
1. K. Janich, Linear algebra, Springer-Verlag. 2. A. Kostrikin, Wstęp do algebry, 1-3 tom, PWN. 3. J. Klukowski, I. Nabiałek, Algebra dla studentów, WNT. 4. T. Świrszcz, Algebra liniowa z geometrią, Oficyna Wydawnicza PW. 5. B. Gdowski, E. Pluciński, Zadania z rachunku wektorowego i geometrii analitycznej, PWN. 6. J. Klukowski, Algebra w zadaniach, Oficyna Wydawnicza PW. 7. I. Nabiałek, Zadania z algebry liniowej, WNT. 8. S. Przybyło, A. Szlachtowski, Algebra i geometria afiniczna w zadaniach, WNT. 9. pod red. A. Kostrikina, Zbiór zadań z algebry, PWN.
Witryna www przedmiotu:
Uwagi:

Efekty uczenia się