- Nazwa przedmiotu:
- Analiza matematyczna III
- Koordynator przedmiotu:
- prof. nzw. dr hab. Andrzej Fryszkowski
- Status przedmiotu:
- Obowiązkowy
- Poziom kształcenia:
- Studia I stopnia
- Program:
- Matematyka
- Grupa przedmiotów:
- Wspólne
- Kod przedmiotu:
- Semestr nominalny:
- 3 / rok ak. 2011/2012
- Liczba punktów ECTS:
- 5
- Liczba godzin pracy studenta związanych z osiągnięciem efektów uczenia się:
- Liczba punktów ECTS na zajęciach wymagających bezpośredniego udziału nauczycieli akademickich:
- Język prowadzenia zajęć:
- polski
- Liczba punktów ECTS, którą student uzyskuje w ramach zajęć o charakterze praktycznym:
- Formy zajęć i ich wymiar w semestrze:
-
- Wykład30h
- Ćwiczenia30h
- Laboratorium0h
- Projekt0h
- Lekcje komputerowe0h
- Wymagania wstępne:
- Podstawy teorii mnogości. Znajomość rachunku różniczkowego i całkowego funkcji jednej zmiennej i elementów rachunku różniczkowego funkcji wielu zmiennych. Umiejętność znaj-dowania pochodnych, funkcji pierwotnych oraz całki oznaczonej. Znajomość pojęcia metryki, ciągłości odwzorowań w przestrzeniach metrycznych. Znajomość algebry liniowej oraz pod-staw geometrii analitycznej.
Analiza matematyczna I i II; ELiTM; Algebra liniowa z geometrią I i II
- Limit liczby studentów:
- Cel przedmiotu:
- Umiejętność obliczania i stosowania całek wielokrotnych. Znajomość i umiejętność stosowa-nia teorii funkcji o wahaniu skończonym, funkcji mierzalnych teorii miary i całki (w tym Leb-esgue'a), różniczkowania miar, tw. Radona-Nikodyma.
- Treści kształcenia:
- 1. Ogólne pojęcie miary i jej własności. Miara Jordana w Rn, miara Lebesgue’a w Rn.
2. Twierdzenie Carathéodory’ego. Charakteryzacja zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue’a. Funkcje mierzalne i ich własności.
3. Całka Lebesgue'a funkcji wielu zmiennych. Własności i przykłady funkcji całkowalnych. Lemat Fatou, twierdzenie Lebesgue’a o zmajoryzowanym przechodzeniu do granicy pod znakiem całki.
4. Twierdzenie Riesza. Twierdzenie Łuzina. Twierdzenie Fubiniego, całka iterowana, związek z całką Riemanna.
5. Zamiana zmiennych, całkowanie przez podstawienie. Przykład zbioru niemierzalnego.
6. Hiperpowierzchnie, wstęp do teorii rozmaitości.
7. Hiperpowierzchnie gładkie, punkty osobliwe hiperpowierzchni.
8. Wektory styczne, hiperpłaszczyzna styczna.
9. Miara i całka na hiperpowierzchni gładkiej.
10. Formy różniczkowe na rozmaitościach.
11. Orientacja hiperpowierzchni, całkowanie form różniczkowych.
12. Twierdzenie Greena-Riemanna, twierdzenie Gaussa-Ostrogradzkiego i klasyczne
twierdzenie Stokesa.
13. Całka pola wektorowego po drodze. Potencjał pola wektorowego.
14. Strumień pola wektorowego, obszary jednospójne. Całki zależne od parametrów.
15. Powtórzenie.
- Metody oceny:
- Trzy kolokwia po 10 pkt – 30 pkt, aktywność na ćwiczeniach – 10 pkt. Egzamin: część zadaniowa – 40 pkt, część teoretyczna – 20 pkt. Łącznie – 100 pkt.
Przedmiot zostaje zaliczony, jeśli łączna liczba uzyskanych punktów wynosi co najmniej 50, oraz
Zwolnienia z części zadaniowej – od 30 pkt.; wtedy do egzaminu liczy się ilość punktów z ćwiczeń razy 2,0. Przeliczenie łącznej ilości uzyskanych punktów na oceny jest następujące:
Suma punktów
Ocena
< 50
2,0
50 – 59
3,0
60 – 69
3,5
70 – 79
4,0
80 – 89
4,5
90 – 100
5,0
- Egzamin:
- Literatura:
- [1] A. Birkholc, Analiza Matematyczna: Funkcje Wielu Zmiennych, PWN 2002;
[2] R. Sikorski, Rachunek Różniczkowy i Całkowy: Funkcje Wielu Zmiennych, PWN 1967;
[3] G.M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy, tom III;
[4] T. Kowalski, J. Muszyński, W. Sadkowski, Zbiór zadań z Matematyki, tom II, OWPW 2000;
[5] W. Kołodziej, Analiza matematyczna, PWN, Warszawa 1978;
[6] W Kołodziej, Podstawy analizy matematycznej w zadaniach, Wyd.PW, Warszawa 1989;
[7] M. Gewert, Zb. Skoczylas, Analiza Matematyczna II, Teoria i Przykłady;
- Witryna www przedmiotu:
- Uwagi:
Efekty uczenia się