Drukuj Eksport do pliku (MS Word)
Nazwa przedmiotu:
Logika i teoria mnogości
Koordynator przedmiotu:
mgr inż. Żaneta Trębska
Status przedmiotu:
Obowiązkowy
Poziom kształcenia:
Studia I stopnia
Program:
Informatyka
Grupa przedmiotów:
Przedmioty techniczne
Kod przedmiotu:
LTM
Semestr nominalny:
1 / rok ak. 2012/2013
Liczba punktów ECTS:
5
Liczba godzin pracy studenta związanych z osiągnięciem efektów uczenia się:
- udział w wykładach: 15×2=30 godz., - udział w ćwiczeniach: 15×2=30godz., - przygotowanie do wykładów (przejrzenie konspektów i notatek) : 15godz., - przygotowanie do ćwiczeń (rozwiązanie kilku zadań z udostępnionych zestawów): 30godz., - przygotowanie do kolokwiów: 3×5=15 godz. - udział w konsultacjach: 5godz, Razem 125 godzin
Liczba punktów ECTS na zajęciach wymagających bezpośredniego udziału nauczycieli akademickich:
3 punkty - ćwiczenia, wykłady i konsultacje
Język prowadzenia zajęć:
polski
Liczba punktów ECTS, którą student uzyskuje w ramach zajęć o charakterze praktycznym:
Formy zajęć i ich wymiar w semestrze:
  • Wykład30h
  • Ćwiczenia30h
  • Laboratorium0h
  • Projekt0h
  • Lekcje komputerowe0h
Wymagania wstępne:
wiedza i umiejętności z zakresu matematyki w szkole średniej (poziom rozszerzony)
Limit liczby studentów:
150
Cel przedmiotu:
- zapoznanie studentów z podstawową wiedzą z zakresu podstaw logiki, teorii mnogości i algebry abstrakcyjnej; - ukształtowanie umiejętności sprawnego posługiwania się pojęciami zbioru, relacji, funkcji, grupy i pierścienia
Treści kształcenia:
TREŚĆ WYKŁADU: 1. Podstawowe wiadomości dotyczące logiki klasycznej (2h) -Rachunek zdań: funktory logiczne i tautologie - powtórzenie i uzupełnienie wiadomości; - Rachunek predykatów - definicje funkcji zdaniowej i kwantyfikatorów, podstawowe prawa rachunku kwantyfikatorów. 2. Rachunek zbiorów (2h) - podstawowe własności działań teoriomnogościowych: sumy, przecięcia i różnicy zbiorów; - Rodziny indeksowane zbiorów, uogólnione sumy i iloczyny, iloczyn kartezjański, zbiór potęgowy; 3. Relacje i ich własności własności relacji (7h) - Podstawowe własności relacji, relacja równoważności – klasy abstrakcji, zbiór ilorazowy; - Funkcje jako relacje. Obrazy i przeciwobrazy zbiorów wyznaczone przez funkcje. - Porządki częściowe i liniowe. Elementy największe i najmniejsze, maksymalne i minimalne, kresy zbiorów. Kraty. Porządki gęste, ciągłe i dobre. 4. Elementy algebry abstrakcyjnej (9h) - Działania algebraiczne, podstawowe struktury: półgrupy, monoidy, grupy, algebry Boole’a, homomorfizmy algebr. - Podstawowe własności i przykłady grup, podgrupy, grupy cykliczne, grupy permutacji, izomorfizm grup; - Warstwy wyznaczone przez podgrupę, podgrupy normalne, grupy ilorazowe, homomorfizmy. - Podstawowe własności i przykłady pierścieni, elementy odwracalne, dzielniki zera, pierścienie wielomianów; - Podstawowe własności i przykłady ciał, pierścienie ilorazowe, równania wielomianowe w pierścieniach. 5. Podstawowe informacje z teorii mocy (5h). - Równoliczność zbiorów. Zbiory przeliczalne i zbiory nieprzeliczalne. Metoda przekątniowa Cantora - Liczby kardynalne, arytmetyka liczb kardynalnych; - Porównywanie mocy zbiorów, hipoteza continuum. 6. Wstęp do teorii rekursji – funkcje, relacje i zbiory rekurencyjne oraz pierwotnie rekurencyjne (2h) 7. Podstawy sformalizowanych teorii matematycznych. Rozstrzygalność, niesprzeczność i zupełność teorii - twierdzenia Goedla, nurty filozofii w matematyce (3h). Studentom udostępniane są, na stronie www, konspekty wszystkich wykładów. Teoria (definicje, twierdzenia, itd.) prezentowana jest na wykładzie przy pomocy slajdów, przykłady i zadania rozwiązywane na tablicy. ZAKRES ĆWICZEŃ: 1. Dowodzenie praw rachunku zdań, rachunku kwantyfikatorów i teorii mnogości, wyznaczanie uogólnionych sum i przecięć indeksowanych rodzin zbiorów (6h). 2. Badanie własności relacji. Wyznaczanie klas abstrakcji relacji równoważności. Badanie własności funkcji. Znajdowanie obrazów i przeciwobrazów zbiorów (4h) 3. Badanie własności zbiorów częściowo uporządkowanych. Wyznaczanie elementów wyróżnionych i kresów zbiorów.(2h) 4. Badanie własności grup, wyznaczanie podgrup i homomorfizów, konstrukcja grup ilorazowych.(4h) 5. Badanie własności pierścieni, znajdowanie elementów odwracalnych i dzielników zera. Rozwiązywanie równań w pierścieniach skończonych. Konstrukcja pierścieni ilorazowych i badanie ich własności (4h) 6. Dowodzenie przeliczalności i nieprzeliczalności zbiorów. Wyznaczanie mocy zbiorów. (4h)
Metody oceny:
Trzy kolokwia w czasie semestru i kolokwium poprawkowe dla studentów, którzy nie zaliczyli przedmiotu
Egzamin:
nie
Literatura:
1. H. Rasiowa, Wstęp do matematyki współczesnej, PWN, 2. W. Marek, J. Onyszkiewicz, Elementy logiki i teorii mnogości w zadaniach, PWN, 3. J. Kraszewski, Wstęp do matematyki, WNT, 4. A. I. Kostrikin, Wstęp do algebry, tom 1,3, PWN 5. J. Rutkowski, Algebra abstrakcyjna w zadaniach, PWN 6. W. J. Gilbert, W. K. Nicholson, Algebra współczesna z zastosowaniami, WNT
Witryna www przedmiotu:
studia.elka.pw.edu.pl
Uwagi:
Studentom udostępniane są , z wyprzedzeniem, zestawy zadań (12 zestawów), przerabiane na ćwiczeniach. Sprawdzanie wiedzy w czasie semestru realizowane jest przez 3 kolokwia, na których studenci rozwiązują zadania podobne do przerabianych na ćwiczeniach.

Efekty uczenia się

Profil ogólnoakademicki - wiedza

Efekt LTM_W01
- zna podstawowe prawa rachunku zdań i predykatów, zna własności działań na zbiorach, zna własności relacji i różne przykłady relacji, w szczególności podstawowe własności funkcji zna własności relacji równoważności i relacji porządku; zna podstawowe przykłady ilustrujące poznane pojęcia
Weryfikacja: ćwiczenia, konsultacje, kolokwium 1
Powiązane efekty kierunkowe:
Powiązane efekty obszarowe:
Efekt LTM_W02
- zna podstawowe własności działań algebraicznych oraz podstawowe własności grup i pierścieni, zna pojęcie homomorfizmu algebr, zna przykłady grup i pierścieni, oraz przykłady grup izomorficznych, zna pojęcie podgrupy, podpierścienia, ideału pierścienia oraz warstwy, - zna definicję i przykłady ciał, zna konstrukcję pierścieni ilorazowych, zna podstawowe własności pierścienia wielomianów.
Weryfikacja: ćwiczenia, konsultacje, kolokwium 2, 3
Powiązane efekty kierunkowe:
Powiązane efekty obszarowe:
Efekt LTM_W03
- zna pojęcie równoliczności zbiorów oraz przykłady zbiorów przeliczalnych i zbiorów mocy kontinuum, - zna podstawowe liczby kardynalne i własności działań na liczbach kardynalnych; - zna definicje funkcji, relacji i zbiorów rekurencyjnych i pierwotnie rekurencyjnych oraz podstawowe przykłady obiektów pierwotnie rekurencyjnych - zna podstawowe aksjomaty teorii mnogości,
Weryfikacja: ćwiczenia, konsultacje, kolokwium 3
Powiązane efekty kierunkowe:
Powiązane efekty obszarowe:

Profil ogólnoakademicki - umiejętności

Efekt LTM_U01
umie sprawdzić prawdziwość zdań złożonych oraz zdań zapisanych z użyciem kwantyfikatorów, potrafi dowodzić podstawowe prawa rachunku zbiorów, umie wykonywać podstawowe działania na zbiorach oraz wyznaczać uogólnione sumy i przecięcia indeksowanych rodzin zbiorów
Weryfikacja: ćwiczenia, konsultacje, kolokwium 1
Powiązane efekty kierunkowe:
Powiązane efekty obszarowe:
Efekt LTM_U02
- umie sprawdzać własności relacji, potrafi wyznaczyć klasy abstrakcji relacji równoważności, umie sprawdzić, czy funkcja jest różnowartościowa i czy jest surjekcją, potrafi wyznaczyć obrazy i przeciwobrazy zbiorów wyznaczone przez funkcje
Weryfikacja: ćwiczenia, konsultacje, kolokwium 1
Powiązane efekty kierunkowe:
Powiązane efekty obszarowe:
Efekt LTM_U03
- potrafi narysować diagram zbioru uporządkowanego, wskazać w zbiorze uporządkowanym łańcuchy, elementy minimalne, maksymalne i najmniejszy i największy, umie wyznaczać kresy zbiorów
Weryfikacja: ćwiczenia, konsultacje, kolokwium 1
Powiązane efekty kierunkowe:
Powiązane efekty obszarowe:
Efekt LTM_U04
- umie badać podstawowe własności grup, potrafi wskazać podgrupy, generatory grup i podgrup cyklicznych, umie wyznaczać homomorfizmy grup oraz wyznaczyć obraz i jądro homomorfizmu, potrafi konstruować grupy ilorazowe, potrafi zapisać permutacjie w postaci iloczynu cykli rozłącznych, umie wyznaczyć znak permutacji
Weryfikacja: ćwiczenia, konsultacje, kolokwium 2
Powiązane efekty kierunkowe:
Powiązane efekty obszarowe:
Efekt LTM_U05
- potrafi rozwiązywać równania w pierścieniach skończonych, umie skonstruować pierścienie ilorazowe, potrafi sprawdzić, czy dana algebra jest pierścieniem lub ciałem, potrafi sprawdzić czy podzbiór pierścienia jest podpierścieniem lub ideałem, potrafi wskazać w pierścieniu dzielniki zera i elementy nieodwracalne, potrafi znajdować odwrotności elementów pierścienia
Weryfikacja: ćwiczenia, konsultacje, kolokwium 2, 3
Powiązane efekty kierunkowe:
Powiązane efekty obszarowe:
Efekt LTM_U06
- potrafi wyznaczyć moce prostych zbiorów, potrafi na prostym poziomie wykazać równoliczność zbiorów i przeliczalność zbiorów, umie posługiwać się liczbami kardynalnymi
Weryfikacja: ćwiczenia, konsultacje, kolokwium 3
Powiązane efekty kierunkowe:
Powiązane efekty obszarowe: