Politechnika
Warszawska

Katalog
ECTS

Nazwa przedmiotu:

Procesy stochastyczne

Koordynator przedmiotu:

prof. dr hab. Jolanta Misiewicz

Status przedmiotu:

Fakultatywny ograniczonego wyboru

Poziom kształcenia:

Studia I stopnia

Program:

Matematyka

Grupa przedmiotów:

Wspólne

Kod przedmiotu:

1120-MA000-LSP-0355

Semestr nominalny:

5 / rok ak. 2015/2016

Liczba punktów ECTS:

4

Liczba godzin pracy studenta związanych z osiągnięciem efektów uczenia się:

1. godziny kontaktowe – 68 h; w tym a) obecność na wykładach – 30 h b) obecność na ćwiczeniach – 30 h c) obecność na egzaminie – 3 h d) konsultacje – 5 h 2. praca własna studenta – 35 h; w tym a) przygotowanie do ćwiczeń i do kolokwiów – 20 h b) zapoznanie się z literaturą – 5 h c) przygotowanie do egzaminu – 10 h Razem 103 h, co odpowiada 4 pkt. ECTS

Liczba punktów ECTS na zajęciach wymagających bezpośredniego udziału nauczycieli akademickich:

a) obecność na wykładach – 30 h b) obecność na ćwiczeniach – 30 h c) obecność na egzaminie – 3 h d) konsultacje – 5 h Razem 68 h, co odpowiada 3 pkt. ECTS

Język prowadzenia zajęć:

polski

Liczba punktów ECTS, którą student uzyskuje w ramach zajęć o charakterze praktycznym:

.

Formy zajęć i ich wymiar w semestrze:

• Wykład30h
• Ćwiczenia30h
• Laboratorium0h
• Projekt0h
• Lekcje komputerowe0h

Wymagania wstępne:

Rachunek prawdopodobieństwa

Limit liczby studentów:

Bez limitu

Cel przedmiotu:

Zapoznanie studentów z podstawami teorii procesów stochastycznych i ich zastosowań.

Treści kształcenia:

1. Definicja procesu stochastycznego. Wstępna klasyfikacja procesów. Trajektorie i parametry procesu. Stochastyczna ciągłość procesu. 2.Warunek Markowa i jednorodne łańcuchy Markowa. Prawdopodobieństwa przejścia w jednym i wielu krokach. Równania Chapmana-Kołmogorowa. Macierze i diagramy przejścia. 3. Klasyfikacja stanów. Łańcuchy okresowe. Stany chwilowe i powracające. 4. Twierdzenie Pólya o błądzeniu losowym w Rn. Wycieczki dla symetrycznego błądzenia losowego na prostej. 5. Stacjonarność i ergodyczność łańcuchów Markowa. Przykłady zastosowań. 6. Podstawowe własności procesu Poissona 7. Bezpośrednia konstrukcja procesu Poissona 8 Poissonowskie pola losowe, złożony i warunkowy proces Poissona 9. Definicja i podstawowe własności łańcuchów Markowa z czasem ciągłym. Czysty proces urodzin. 10 Proces urodzin i śmierci, jego stacjonarność i problem wymarcia populacji. Regularność łańcuchów Markowa z czasem ciągłym 11. Twierdzenie Kołmogorowa o istnieniu procesu o zadanych rozkładach skończenie wymiarowych. Stochastyczna równoważność i ośrodkowość. 12 Definicja i podstawowe własności procesu Wienera. Nierówność Lévy'ego. 13. Ciągłość trajektorii procesu Wienera. Zasada odbicia. Konstrukcja Ciesielskiego. 14. Nieróżniczkowalność trajektorii procesu Wienera. 15. Lokalne i globalne prawo iterowanego logarytmu.

Metody oceny:

Ćwiczenia: kartkówki na każdych ćwiczeniach po 2 pkt, zaliczenie za przekroczone 50% punktów możliwych do uzyskania z kartkówek. Ewentualne braki można uzupełniać aktywnością na zajęciach. Egzamin pisemny 200 pkt w tym 100 pkt zadania + 100 pkt teoria. Z części zadaniowej można być zwolnionym jeśli z ćwiczeń zdobędzie się co najmniej 75% możliwych do zdobycia punktów. Wtedy za wynik z egzaminu z zadań uznaje się procentowy wynik z ćwiczeń. Do zaliczenia przedmiotu liczy się jedynie uśredniona suma punktów z części zadaniowej i teoretycznej egzaminu: od 51pkt – 3,0 od 61pkt – 3,5 od 71pkt – 4,0 od 81pkt – 4,5 od 91pkt – 5,0

Egzamin:

tak

Literatura:

1. J.K. Misiewicz, Wykłady z procesów stochastycznych z zadaniami. Część pierwsza: procesy Markowa. 2. J. Jakubowski, R. Sztencel, Wstęp do teorii prawdopodobieństwa 3. W. Feller, Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa

Witryna www przedmiotu:

brak

Uwagi:

Efekty uczenia się

Profil ogólnoakademicki - wiedza

Efekt PS_W01

Zna definicje i podstawowe sposoby opisu procesów stochastycznych. Zna pojęcie zależności markowskiej, łańcucha i procesu Markowa, oraz ich podstawowe własności
Weryfikacja: Egzamin, kartkówki, rozwiązywanie zadań przy tablicy
Powiązane efekty kierunkowe: ML_W18, ML_W19
Powiązane efekty obszarowe: X1A_W01, X1A_W02, X1A_W03, X1A_W02, X1A_W03, X1A_W04

Efekt PS_W02

Zna pojęcie i podstawowe własności czystego procesu urodzin, procesu urodzin i śmierci. Zna pojęcia eksplozji demograficznej czy wymarcia populacji.
Weryfikacja: Egzamin, kartkówki, rozwiązywanie zadań przy tablicy
Powiązane efekty kierunkowe: ML_W19, ML_W21
Powiązane efekty obszarowe: X1A_W02, X1A_W03, X1A_W04, X1A_W01, X1A_W02, X1A_W03, X1A_W04

Efekt PS_W03

Zna proces Wienera, jego konstrukcje i najważniejsze własności
Weryfikacja: Egzamin, kartkówki, rozwiązywanie zadań przy tablicy
Powiązane efekty kierunkowe: ML_W19, ML_W21
Powiązane efekty obszarowe: X1A_W02, X1A_W03, X1A_W04, X1A_W01, X1A_W02, X1A_W03, X1A_W04

Efekt PS_W04

Zna proces Poissona, jego konstrukcje i najważniejsze własności
Weryfikacja: Egzamin, kartkówki, rozwiązywanie zadań przy tablicy
Powiązane efekty kierunkowe: ML_W18, ML_W19
Powiązane efekty obszarowe: X1A_W01, X1A_W02, X1A_W03, X1A_W02, X1A_W03, X1A_W04

Profil ogólnoakademicki - umiejętności

Efekt PS_U01

Umie badać własności trajektorii procesów stochastycznych.
Weryfikacja: Egzamin, kartkówki, rozwiązywanie zadań przy tablicy
Powiązane efekty kierunkowe: ML_U18, ML_U19
Powiązane efekty obszarowe: X1A_U01, X1A_U02, X1A_U03, X1A_U01, X1A_U02, X1A_U03

Efekt PS_U02

Umie modelować zjawiska losowe za pomocą błądzeń losowych i procesów urodzin i śmierci.
Weryfikacja: Egzamin, kartkówki, rozwiązywanie zadań przy tablicy
Powiązane efekty kierunkowe: ML_U18, ML_U19
Powiązane efekty obszarowe: X1A_U01, X1A_U02, X1A_U03, X1A_U01, X1A_U02, X1A_U03

Efekt PS_U03

Potrafi identyfikować podstawowe modele stochastyczne, takie jak ruch Browna, proces Poissona i złożony proces Poissona.
Weryfikacja: Egzamin, kartkówki, rozwiązywanie zadań przy tablicy
Powiązane efekty kierunkowe: ML_U18, ML_U19
Powiązane efekty obszarowe: X1A_U01, X1A_U02, X1A_U03, X1A_U01, X1A_U02, X1A_U03

Profil ogólnoakademicki - kompetencje społeczne

Efekt PS_K01

Rozumie potrzebę stałego podnoszenia kwalifikacji i kompetencji zawodowych
Weryfikacja: Egzamin, kartkówki, rozwiązywanie zadań przy tablicy
Powiązane efekty kierunkowe: ML_KS01, ML_KS05
Powiązane efekty obszarowe: X1A_K01, X1A_K05

Efekt PS_K02

Umie prawidłowo określić priorytety służące do realizacji określonego zadania
Weryfikacja: Egzamin, kartkówki, rozwiązywanie zadań przy tablicy
Powiązane efekty kierunkowe: ML_KS03
Powiązane efekty obszarowe: X1A_K03