Drukuj Eksport do pliku (MS Word)
Nazwa przedmiotu:
Równania różniczkowe
Koordynator przedmiotu:
dr Andrzej Winnicki
Status przedmiotu:
Obowiązkowy
Poziom kształcenia:
Studia I stopnia
Program:
Mechanika i Budowa Maszyn
Grupa przedmiotów:
Obowiązkowe
Kod przedmiotu:
115
Semestr nominalny:
2 / rok ak. 2015/2016
Liczba punktów ECTS:
5
Liczba godzin pracy studenta związanych z osiągnięciem efektów uczenia się:
brak
Liczba punktów ECTS na zajęciach wymagających bezpośredniego udziału nauczycieli akademickich:
brak
Język prowadzenia zajęć:
polski
Liczba punktów ECTS, którą student uzyskuje w ramach zajęć o charakterze praktycznym:
brak
Formy zajęć i ich wymiar w semestrze:
  • Wykład30h
  • Ćwiczenia30h
  • Laboratorium0h
  • Projekt0h
  • Lekcje komputerowe0h
Wymagania wstępne:
Znajomość rachunku różniczkowego i całkowego funkcji jednej zmiennej (w zakresie programu analizy matematycznej I).
Limit liczby studentów:
zgodnie z zarządzeniem Rektora PW
Cel przedmiotu:
Poznanie wybranych działów równań różniczkowych zwyczajnych, teorii szeregów liczbowych, funkcyjnych i Fouriera oraz geometrii różniczkowej, niezbędnych do studiowania przedmiotów kierunkowych.
Treści kształcenia:
Wykład 1. Równania różniczkowe zwyczajne Podstawowe definicje. Klasyfikacja równań różniczkowych. Rozwiązania ogólne i szczególne. Zagadnienie Cauchy’ego dla równań różniczkowych zwyczajnych. Twierdzenia Peano i Picarda. Równania różniczkowe rzędu pierwszego:  równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych,  równania różniczkowe sprowadzalne do równań o zmiennych rozdzielonych,  równania różniczkowe liniowe,  równanie różniczkowe Bernoulliego. Równania różniczkowe rodziny linii. Linie ortogonalne. Równania różniczkowe rzędu drugiego:  równania różniczkowe sprowadzalne do równań pierwszego rzędu,  równania różniczkowe liniowe jednorodne o stałych współczynnikach,  równania różniczkowe liniowe niejednorodne o stałych współczynnikach. Metoda uzmiennienia stałych i metoda przewidywań. Równania różniczkowe liniowe rzędu n o stałych współczynnikach. Układy równań różniczkowych. 2. Szeregi liczbowe Definicja sumy szeregu. Warunek konieczny zbieżności. Kryteria zbieżności szeregów: porównawcze, d’Alemberta, Cauchy’ego, całkowe, Leibniza. 3. Ciągi i szeregi funkcyjne Zbieżność punktowa i jednostajna. Twierdzenie Weierstrassa o zbieżności szeregu funkcyjnego. Szeregi potęgowe. Twierdzenie Cauchy’ego-Hadamarda. Rozwijanie funkcji w szeregi Taylora i Maclaurina. 4. Szeregi Fouriera Definicja szeregu trygonometrycznego i szeregu Fouriera. Wzory Eulera-Fouriera. Warunki Dirichleta. 5. Elementy geometrii różniczkowej Krzywe płaskie:  definicja krzywej płaskiej. Postać parametryczna, jawna oraz uwikłana równania krzywej. Łuk regularny. Krzywa regularna. Orientacja łuku i krzywej,  wektor styczny i normalny, równanie stycznej,  krzywizna, okrąg krzywiznowy,  ewoluta i ewolwenta,  obwiednia jednoparametrowej rodziny krzywych płaskich. Krzywe w przestrzeni. Krzywizna i torsja krzywej przestrzennej. Trójścian Freneta, Ćwiczenia 1. Równania różniczkowe zwyczajne Równania różniczkowe rzędu pierwszego:  identyfikacja typów równań,  wyznaczanie rozwiązań ogólnych,  rozwiązywanie zagadnienia Cauchy’ego, Wyznaczanie równań różniczkowych rodziny linii oraz równań linii ortogonalnych. Równania różniczkowe rzędu drugiego:  rozwiązywanie równań sprowadzalnych do równań pierwszego rzędu,  rozwiązywanie równań różniczkowych liniowych jednorodnych o stałych współczynnikach,  rozwiązywanie równań różniczkowych liniowych niejednorodnych o stałych współczynnikach metodą uzmiennienia stałych i metodą przewidywań. Rozwiązywanie równań różniczkowych liniowych rzędu n o stałych współczynnikach. Rozwiązywanie układów równań różniczkowych. 2. Szeregi liczbowe Badanie zbieżności szeregów. 3. Ciągi i szeregi funkcyjne Wyznaczanie przedziałów zbieżności szeregów potęgowych. Rozwijanie funkcji w szeregi Taylora i Maclaurina. 4. Szeregi Fouriera Wyznaczanie szeregów Fouriera. 5. Elementy geometrii różniczkowej Krzywe płaskie:  wyznaczanie równań krzywych,  konstrukcja wektora stycznego i normalnego, wyznaczanie równania stycznej, krzywizny i okręgu krzywiznowego,  wyznaczanie ewoluty, ewolwenty oraz obwiedni jednoparametrowej rodziny krzywych płaskich. Krzywe w przestrzeni:  wyznaczanie krzywizny i torsji krzywej przestrzennej,  wyznaczanie płaszczyzny normalnej, ściśle stycznej i rektyfikacyjnej oraz trójścianu Freneta.
Metody oceny:
2 kolokwia, egzamin
Egzamin:
tak
Literatura:
1. Marian Gewert, Zbigniew Skoczylas, Równania różniczkowe zwyczajne. Teoria, przykłady, zadania Oficyna Wydawnicza GiS, 2006 2. Krysicki W., Włodarski L., Analiza matematyczna w zadaniach cz.2, PWN, 2006 3. Edward Otto red., Matematyka dla wydziałów budowlanych i mechanicznych, tom II, PWN, 1980 4. Roman Leitner, Zarys matematyki wyższej dla studentów. Cz. II. Rachunek całkowy, równania różniczkowe, funkcje zespolone, przekształcenie Laplace'a, WNT, 2001 5. N.M. Matwiejew, Zadania z równań różniczkowych zwyczajnych, PWN, 1974
Witryna www przedmiotu:
brak
Uwagi:
brak

Efekty uczenia się