Politechnika
Warszawska

Katalog
ECTS

Nazwa przedmiotu:

Podstawy analizy stochastycznej

Koordynator przedmiotu:

Prof. dr hab. Jacek Jakubowski

Status przedmiotu:

Obowiązkowy

Poziom kształcenia:

Studia II stopnia

Program:

Matematyka

Grupa przedmiotów:

Wspólne

Kod przedmiotu:

1120-MAMUF-NSP-0112

Semestr nominalny:

2 / rok ak. 2020/2021

Liczba punktów ECTS:

6

Liczba godzin pracy studenta związanych z osiągnięciem efektów uczenia się:

1. godziny kontaktowe – 70 h; w tym a) obecność na wykładach – 30 h b) obecność na ćwiczeniach – 30 h c) obecność na egzaminie – 5 h d) konsultacje – 5 h 2. praca własna studenta – 85 h; w tym a) przygotowanie do ćwiczeń i do kolokwiów – 30 h b) zapoznanie się z literaturą – 15 h c) przygotowanie do egzaminu – 40 h Razem 155 h, co odpowiada 6 pkt. ECTS

Liczba punktów ECTS na zajęciach wymagających bezpośredniego udziału nauczycieli akademickich:

a) obecność na wykładach – 30 h b) obecność na ćwiczeniach – 30h c) obecność na egzaminie – 5 h d) konsultacje – 5 h Razem 70 h, co odpowiada 3 pkt. ECTS

Język prowadzenia zajęć:

polski

Liczba punktów ECTS, którą student uzyskuje w ramach zajęć o charakterze praktycznym:

.

Formy zajęć i ich wymiar w semestrze:

• Wykład30h
• Ćwiczenia30h
• Laboratorium0h
• Projekt0h
• Lekcje komputerowe0h

Wymagania wstępne:

Rachunek prawdopodobieństwa, Procesy stochastyczne.

Limit liczby studentów:

bez limitu

Cel przedmiotu:

Wprowadzenie do analizy stochastycznej: teorii całki stochastycznej oraz stochastycznych równań różniczkowych które są podstawowymi narzędziami w modelowaniu zjawisk fizyce i biologii i w finansach.

Treści kształcenia:

1. Martyngały - definicja i podstawowe własności. 2. Momenty stopu. Twierdzenie Dooba. 3. Rozkład Dooba. Zagadnienie optymalnego stopowania. 4. Martyngały z czasem ciągłym. 5. Martyngały lokalne. 6. Absolutna ciągłość i równoważność miar probabilistycznych. Abstrakcyjny wzór Bayesa. 7. Proces Wienera - własności trajektorii. 8. Całka Itô - definicja i podstawowe własności. 9. Wzór Itô i jego zastosowania. 10. Stochastyczne równania różniczkowe - istnienie rozwiązań dla równań o współczynnikach lipschitzowskich, jawna postać dla równań o stałych współczynnikach. 11. Twierdzenie o reprezentacji martyngałów. Twierdzenie P. Levy’ego. 12. Twierdzenie Girsanowa i jego zastosowania.

Metody oceny:

Zaliczenie na podstawie egzaminu pisemnego i wyniku z ćwiczeń. Szczegóły będą podane na pierwszych zajęciach.

Egzamin:

tak

Literatura:

1. Matematyka finansowa instrumenty pochodne. Jakubowski Jacek, Palczewski Andrzej, Rutkowski Marek, Stettner Łukasz, WNT 2006. 2. Karatzas I, Shreve S. “Brownian Motion and Stochastic Calculus”, Springer

Witryna www przedmiotu:

brak

Uwagi:

.

Efekty uczenia się

Profil ogólnoakademicki - wiedza

Charakterystyka PAS_W01

Ma ogólną wiedzę z teorii martyngałów (Twierdzenia o zbieżności, nierówności martyngałowe)
Weryfikacja: egzamin
Powiązane charakterystyki kierunkowe: M2_W01, M2MUF_W01
Powiązane charakterystyki obszarowe:

Charakterystyka PAS_W02

Rozumie i potrafi wytłumaczyć konstrukcję całki Itô
Weryfikacja: egzamin
Powiązane charakterystyki kierunkowe: M2_W01, M2MUF_W01
Powiązane charakterystyki obszarowe:

Charakterystyka PAS_W03

Zna wzór Itô
Weryfikacja: egzamin
Powiązane charakterystyki kierunkowe: M2MUF_W01, M2_W01
Powiązane charakterystyki obszarowe:

Charakterystyka PAS_W04

Zna twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności stochastycznych równań różniczkowych i różne metody ich rozwiązywania.
Weryfikacja: egzamin
Powiązane charakterystyki kierunkowe: M2_W01, M2MUF_W01
Powiązane charakterystyki obszarowe:

Charakterystyka PAS_W05

Zna eksponentę stochastyczną.
Weryfikacja: Egzamin
Powiązane charakterystyki kierunkowe: M2_W01, M2MUF_W01
Powiązane charakterystyki obszarowe:

Charakterystyka PAS_W06

Zna Twierdzenie o reprezentacji martyngałowej i Twierdzenie Girsanowa.
Weryfikacja: Egzamin
Powiązane charakterystyki kierunkowe: M2_W01, M2MUF_W01
Powiązane charakterystyki obszarowe:

Profil ogólnoakademicki - umiejętności

Charakterystyka PAS_U01

Potrafi badać zbieżność martyngałów
Weryfikacja: Kolokwium i egzamin
Powiązane charakterystyki kierunkowe: M2MUF_U17
Powiązane charakterystyki obszarowe:

Charakterystyka PAS_U02

Potrafi zastosować wzór Itô.
Weryfikacja: Kolokwium i egzamin
Powiązane charakterystyki kierunkowe: M2MUF_U17
Powiązane charakterystyki obszarowe:

Charakterystyka PAS_U03

Potrafi korzystać z twierdzeń o istnieniu i jednoznaczność rozwiązań stochastycznych równań różniczkowych
Weryfikacja: Kolokwium i egzamin
Powiązane charakterystyki kierunkowe: M2MUF_U17
Powiązane charakterystyki obszarowe:

Charakterystyka PAS_U04

Potrafi rozwiązywać niektóre równania stochastyczne.
Weryfikacja: Kolokwium i egzamin
Powiązane charakterystyki kierunkowe: M2MUF_U17
Powiązane charakterystyki obszarowe: