Drukuj Eksport do pliku (MS Word)
Nazwa przedmiotu:
Równania różniczkowe
Koordynator przedmiotu:
dr inż. Andrzej Winnicki
Status przedmiotu:
Obowiązkowy
Poziom kształcenia:
Studia I stopnia
Program:
Mechatronika Pojazdów i Maszyn Roboczych
Grupa przedmiotów:
Matematyka
Kod przedmiotu:
1120-00000-ISP-0115
Semestr nominalny:
2 / rok ak. 2020/2021
Liczba punktów ECTS:
5
Liczba godzin pracy studenta związanych z osiągnięciem efektów uczenia się:
1. Liczba godzin kontaktowych – 65 godzin, w tym: a) wykład - 30 godz.; b) ćwiczenia - 30 godz.; c) konsultacje - 2 godz.; d) egzamin - 3 godz. 2. Praca własna studenta – 70 godzin, w tym: a) 40 godz. – bieżące przygotowywanie się do ćwiczeń i wykładów (analiza literatury); b) 20 godz. - przygotowywanie się do kolokwiów; c) 10 godz. –przygotowywanie się do egzaminu. 3. RAZEM – 135 godzin.
Liczba punktów ECTS na zajęciach wymagających bezpośredniego udziału nauczycieli akademickich:
2,6 punktu ECTS – liczba godzin kontaktowych – 65, w tym: a) wykład - 30 godz.; b) ćwiczenia - 30 godz.; c) konsultacje - 2 godz.; d) egzamin - 3 godz.
Język prowadzenia zajęć:
polski
Liczba punktów ECTS, którą student uzyskuje w ramach zajęć o charakterze praktycznym:
-
Formy zajęć i ich wymiar w semestrze:
  • Wykład30h
  • Ćwiczenia30h
  • Laboratorium0h
  • Projekt0h
  • Lekcje komputerowe0h
Wymagania wstępne:
Znajomość rachunku różniczkowego i całkowego funkcji jednej zmiennej (w zakresie programu Analizy 1).
Limit liczby studentów:
-
Cel przedmiotu:
Poznanie wybranych działów równań różniczkowych zwyczajnych, teorii szeregów liczbowych, funkcyjnych i Fouriera oraz geometrii różniczkowej, niezbędnych do studiowania przedmiotów kierunkowych.
Treści kształcenia:
Wykład 1. Równania różniczkowe zwyczajne Podstawowe definicje. Klasyfikacja równań różniczkowych. Rozwiązania ogólne i szczególne. Zagadnienie Cauchy’ego dla równań różniczkowych zwyczajnych. Twierdzenia Peano i Picarda. Równania różniczkowe rzędu pierwszego: - równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych, - równania różniczkowe sprowadzalne do równań o zmiennych rozdzielonych,  równania różniczkowe liniowe, - równanie różniczkowe Bernoulliego. Równania różniczkowe rodziny linii. Linie ortogonalne. Równania różniczkowe rzędu drugiego: - równania różniczkowe sprowadzalne do równań pierwszego rzędu, - równania różniczkowe liniowe, - równania różniczkowe liniowe niejednorodne o stałych współczynnikach, metoda uzmiennienia stałych i metoda przewidywań. Równania różniczkowe liniowe rzędu n o stałych współczynnikach. Układy równań różniczkowych. 2. Szeregi liczbowe Definicja sumy szeregu. Warunek konieczny zbieżności. Kryteria zbieżności szeregów: porównawcze, d’Alemberta, Cauchy’ego, całkowe, Leibniza. 3. Ciągi i szeregi funkcyjne Zbieżność punktowa i jednostajna szeregu, twierdzenie Weierstrassa o zbieżności szeregu funkcyjnego. Szeregi potęgowe, twierdzenie Cauchy’ego-Hadamarda, rozwijanie funkcji w szeregi Taylora i Maclaurina. 4. Szeregi Fouriera Definicja szeregu trygonometrycznego i szeregu Fouriera, wzory Eulera-Fouriera, warunki Dirichleta. 5. Elementy geometrii różniczkowej Krzywe płaskie: - definicja krzywej płaskiej, postać parametryczna, jawna oraz uwikłana równania krzywej, łuk regularny, krzywa regularna, orientacja łuku i krzywej, - wektor styczny i normalny, równanie stycznej, - krzywizna, okrąg krzywiznowy, - ewoluta i ewolwenta krzywej, - obwiednia jednoparametrowej rodziny krzywych płaskich. Krzywe w przestrzeni: - krzywizna i torsja krzywej przestrzennej, - trójścian Freneta. Ćwiczenia 1. Równania różniczkowe zwyczajne Równania różniczkowe rzędu pierwszego: - identyfikacja typów równań, - wyznaczanie rozwiązań ogólnych, - rozwiązywanie zagadnienia Cauchy’ego, Wyznaczanie równań różniczkowych rodziny linii oraz równań linii ortogonalnych. Równania różniczkowe rzędu drugiego: - rozwiązywanie równań sprowadzalnych do równań pierwszego rzędu, - rozwiązywanie równań różniczkowych liniowych jednorodnych, - rozwiązywanie równań różniczkowych liniowych niejednorodnych o stałych współczynnikach metodą uzmiennienia stałych i metodą przewidywań. Rozwiązywanie równań różniczkowych liniowych rzędu n o stałych współczynnikach. Rozwiązywanie układów równań różniczkowych. 2. Szeregi liczbowe - badanie zbieżności szeregów. 3. Ciągi i szeregi funkcyjne - wyznaczanie przedziałów zbieżności szeregów potęgowych, rozwijanie funkcji w szeregi Taylora i Maclaurina. 4. Szeregi Fouriera - wyznaczanie szeregów Fouriera. 5. Elementy geometrii różniczkowej Krzywe płaskie: - wyznaczanie równań krzywych, - konstrukcja wektora stycznego i normalnego, wyznaczanie równania stycznej, - wyznaczanie krzywizny i okręgu krzywiznowego, - wyznaczanie ewoluty, ewolwenty oraz obwiedni jednoparametrowej rodziny krzywych płaskich. Krzywe w przestrzeni: - wyznaczanie krzywizny i torsji krzywej przestrzennej, - wyznaczanie płaszczyzny normalnej, ściśle stycznej i rektyfikacyjnej oraz trójścianu Freneta.
Metody oceny:
Wykład: egzamin pisemny - ocena końcowa ustalana na podstawie liczby uzyskanych punktów. Ćwiczenia: kolokwia pisemne oraz aktywność na zajęciach - ocena końcowa ustalana na podstawie liczby uzyskanych punktów.
Egzamin:
tak
Literatura:
1. Gewert M., Skoczylas Z., Równania różniczkowe zwyczajne. Teoria, przykłady, zadania Oficyna Wydawnicza GiS, 2011. 2. Nawrocki J., Matematyka 30 wykładów z ćwiczeniami, Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, Wyd. 2, 2007. 3. Krysicki W., Włodarski L., Analiza matematyczna w zadaniach cz.2, PWN, 2006. 4. Otto E. (red.), Matematyka dla wydziałów budowlanych i mechanicznych, tom II, PWN, 1980. 5. Leitner R., Zarys matematyki wyższej dla studentów. Cz. II. Rachunek całkowy, równania różniczkowe, funkcje zespolone, przekształcenie Laplace'a, WNT, 2001. 6. Matwiejew M., Zadania z równań różniczkowych zwyczajnych, PWN, 1974.
Witryna www przedmiotu:
-
Uwagi:
-

Efekty uczenia się

Profil ogólnoakademicki - wiedza

Efekt 1120-00000-ISP-0115_W01
Student wykazuje znajomość klasyfikacji równań różniczkowych zwyczajnych oraz technik rozwiązywania wybranych typów równań.
Weryfikacja: Uzyskanie wymaganej regulaminem zaliczenia przedmiotu liczby punktów z tytułu aktywności na zajęciach, kolokwium 1 i egzaminu.
Powiązane efekty kierunkowe: KMChtr_W01
Powiązane efekty obszarowe: T1A_W01, T1A_W07
Efekt 1120-00000-ISP-0115_W02
Student posiada podstawową wiedzę z teorii szeregów liczbowych i funkcyjnych.
Weryfikacja: Uzyskanie wymaganej regulaminem zaliczenia przedmiotu liczby punktów z tytułu aktywności na zajęciach, kolokwium 2 i egzaminu.
Powiązane efekty kierunkowe: KMChtr_W01
Powiązane efekty obszarowe: T1A_W01, T1A_W07
Efekt 1120-00000-ISP-0115_W03
Student ma uporządkowaną wiedzę w zakresie podstaw geometrii różniczkowej.
Weryfikacja: Uzyskanie wymaganej regulaminem zaliczenia przedmiotu liczby punktów z tytułu aktywności na zajęciach, kolokwium 2 i egzaminu.
Powiązane efekty kierunkowe: KMChtr_W01
Powiązane efekty obszarowe: T1A_W01, T1A_W07

Profil ogólnoakademicki - umiejętności

Efekt 1120-00000-ISP-0115_U01
Student potrafi identyfikować typ równania różniczkowego i zastosować odpowiednią metodę jego rozwiązania.
Weryfikacja: Uzyskanie wymaganej regulaminem zaliczenia przedmiotu liczby punktów z tytułu aktywności na zajęciach, kolokwium 1 i egzaminu.
Powiązane efekty kierunkowe: KMchtr_U01
Powiązane efekty obszarowe: T1A_U01
Efekt 1120-00000-ISP-0115_U02
Student potrafi zastosować odpowiednie kryteria do zbadania zbieżności szeregów liczbowych, rozwijać funkcje w szeregi Taylora oraz Maclaurina oraz wyznaczać szeregi Fouriera.
Weryfikacja: Uzyskanie wymaganej regulaminem zaliczeń liczby punktów z tytułu aktywności na zajęciach, kolokwium 2 i egzaminu.
Powiązane efekty kierunkowe: KMchtr_U01
Powiązane efekty obszarowe: T1A_U01
Efekt 1120-00000-ISP-0115_U03
Student potrafi wykorzystać metody analizy matematycznej do badania właściwości krzywych, wyznaczać krzywiznę, torsję oraz elementy trójścianu Freneta.
Weryfikacja: Uzyskanie wymaganej regulaminem zaliczeń liczby punktów z tytułu aktywności na zajęciach, kolokwium 2 i egzaminu.
Powiązane efekty kierunkowe: KMchtr_U01
Powiązane efekty obszarowe: T1A_U01