Drukuj Eksport do pliku (MS Word)
Nazwa przedmiotu:
Równania różniczkowe
Koordynator przedmiotu:
dr hab. Ewa Bednarczuk, Prof. PW
Status przedmiotu:
Obowiązkowy
Poziom kształcenia:
Studia I stopnia
Program:
Mechanika Pojazdów i Maszyn Roboczych
Grupa przedmiotów:
Matematyka
Kod przedmiotu:
1120-00000-IZP-0115
Semestr nominalny:
2 / rok ak. 2020/2021
Liczba punktów ECTS:
4
Liczba godzin pracy studenta związanych z osiągnięciem efektów uczenia się:
1. Liczba godzin kontaktowych – 30 godzin, w tym: a) wykład - 16 godz.; b) ćwiczenia - 8 godz.; c) konsultacje - 3 godz.; d) egzamin - 3 godz. 2. Praca własna studenta – 70 godzin, w tym: a) 46 godz. – bieżące przygotowywanie się do ćwiczeń i wykładów (analiza literatury, rozwiązywanie zadań); b) 12 godz. - przygotowywanie się do kolokwiów; c) 12 godz. – przygotowywanie się do egzaminu. 3. RAZEM – 100 godzin.
Liczba punktów ECTS na zajęciach wymagających bezpośredniego udziału nauczycieli akademickich:
1 punkt ECTS – liczba godzin kontaktowych - 30, w tym: a) wykład - 16 godz.; b) ćwiczenia - 8 godz.; c) konsultacje - 3 godz.; d) egzamin - 3 godz.
Język prowadzenia zajęć:
polski
Liczba punktów ECTS, którą student uzyskuje w ramach zajęć o charakterze praktycznym:
-
Formy zajęć i ich wymiar w semestrze:
  • Wykład16h
  • Ćwiczenia8h
  • Laboratorium0h
  • Projekt0h
  • Lekcje komputerowe0h
Wymagania wstępne:
Znajomość rachunku różniczkowego i całkowego funkcji jednej zmiennej (w zakresie programu Analizy 1).
Limit liczby studentów:
zgodnie z zarządzeniem Rektora PW
Cel przedmiotu:
Poznanie wybranych działów równań różniczkowych zwyczajnych, teorii szeregów liczbowych, funkcyjnych i Fouriera oraz geometrii różniczkowej, niezbędnych do studiowania przedmiotów kierunkowych.
Treści kształcenia:
Wykład 1. Równania różniczkowe zwyczajne. Podstawowe definicje. Klasyfikacja równań różniczkowych. Rozwiązania ogólne i szczególne. Zagadnienie Cauchy’ego dla równań różniczkowych zwyczajnych. Twierdzenia Peano i Picarda. Równania różniczkowe rzędu pierwszego: • równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych, • równania różniczkowe sprowadzalne do równań o zmiennych rozdzielonych, • równania różniczkowe liniowe, • równanie różniczkowe Bernoulliego, • Równania różniczkowe rodziny linii. Linie ortogonalne. Równania różniczkowe rzędu drugiego: • równania różniczkowe sprowadzalne do równań pierwszego rzędu, • równania różniczkowe liniowe, • równania różniczkowe liniowe niejednorodne o stałych współczynnikach, metoda uzmiennienia stałych i metoda przewidywań. Równania różniczkowe liniowe rzędu n o stałych współczynnikach. Układy równań różniczkowych. 2. Szeregi liczbowe. Definicja sumy szeregu. Warunek konieczny zbieżności. Kryteria zbieżności szeregów: porównawcze, d’Alemberta, Cauchy’ego, całkowe, Leibniza. 3. Ciągi i szeregi funkcyjne. Zbieżność punktowa i jednostajna szeregu, twierdzenie Weierstrassa o zbieżności szeregu funkcyjnego. Szeregi potęgowe, twierdzenie Cauchy’ego-Hadamarda, rozwijanie funkcji w szeregi Taylora i Maclaurina. 4. Szeregi Fouriera. Definicja szeregu trygonometrycznego i szeregu Fouriera, wzory Eulera-Fouriera, warunki Dirichleta. 5. Elementy geometrii różniczkowej Krzywe płaskie: • definicja krzywej płaskiej, postać parametryczna, jawna oraz uwikłana równania krzywej, łuk regularny, krzywa regularna, orientacja łuku i krzywej,  wektor styczny i normalny, równanie stycznej, • krzywizna, okrąg krzywiznowy, • ewoluta i ewolwenta krzywej, • obwiednia jednoparametrowej rodziny krzywych płaskich. Krzywe w przestrzeni: • krzywizna i torsja krzywej przestrzennej, • trójścian Freneta. Ćwiczenia 1. Równania różniczkowe zwyczajne Równania różniczkowe rzędu pierwszego: • identyfikacja typów równań, • wyznaczanie rozwiązań ogólnych, • rozwiązywanie zagadnienia Cauchy’ego, Wyznaczanie równań różniczkowych rodziny linii oraz równań linii ortogonalnych. Równania różniczkowe rzędu drugiego: • rozwiązywanie równań sprowadzalnych do równań pierwszego rzędu, • rozwiązywanie równań różniczkowych liniowych jednorodnych, • rozwiązywanie równań różniczkowych liniowych niejednorodnych o stałych współczynnikach metodą uzmiennienia stałych i metodą przewidywań. Rozwiązywanie równań różniczkowych liniowych rzędu n o stałych współczynnikach. Rozwiązywanie układów równań różniczkowych. 2. Szeregi liczbowe - badanie zbieżności szeregów. 3. Ciągi i szeregi funkcyjne - wyznaczanie przedziałów zbieżności szeregów potęgowych, rozwijanie funkcji w szeregi Taylora i Maclaurina. 4. Szeregi Fouriera - wyznaczanie szeregów Fouriera. 5. Elementy geometrii różniczkowej. Krzywe płaskie: • wyznaczanie równań krzywych, • konstrukcja wektora stycznego i normalnego, wyznaczanie równania stycznej, • wyznaczanie krzywizny i okręgu krzywiznowego, • wyznaczanie ewoluty, ewolwenty oraz obwiedni jednoparametrowej rodziny krzywych płaskich. Krzywe w przestrzeni: • wyznaczanie krzywizny i torsji krzywej przestrzennej, • wyznaczanie płaszczyzny normalnej, ściśle stycznej i rektyfikacyjnej oraz trójścianu Freneta.
Metody oceny:
Wykład: egzamin pisemny - ocena końcowa ustalana na podstawie liczby uzyskanych punktów. Ćwiczenia: kolokwia pisemne oraz aktywność na zajęciach - ocena końcowa ustalana na podstawie liczby uzyskanych punktów.
Egzamin:
tak
Literatura:
1. Gewert M., Skoczylas Z., Równania różniczkowe zwyczajne. Teoria, przykłady, zadania Oficyna Wydawnicza GiS, 2011. 2. Nawrocki J., Matematyka 30 wykładów z ćwiczeniami, Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, Wyd. 2, 2007. 3. Krysicki W., Włodarski L., Analiza matematyczna w zadaniach cz.2, PWN, 2006. 4. Otto E. (red.), Matematyka dla wydziałów budowlanych i mechanicznych, tom II, PWN, 1980. 5. Leitner R., Zarys matematyki wyższej dla studentów. Cz. II. Rachunek całkowy, równania różniczkowe, funkcje zespolone, przekształcenie Laplace'a, WNT, 2001. 6. Matwiejew M., Zadania z równań różniczkowych zwyczajnych, PWN, 1974.
Witryna www przedmiotu:
-
Uwagi:
-

Efekty uczenia się

Profil ogólnoakademicki - wiedza

Efekt 1120-MB000-IZP-0115_W01
Student wykazuje znajomość klasyfikacji równań różniczkowych zwyczajnych oraz technik rozwiązywania wybranych typów równań.
Weryfikacja: Uzyskanie wymaganej regulaminem zaliczenia przedmiotu liczby punktów z tytułu aktywności na zajęciach, kolokwium 1 i egzaminu.
Powiązane efekty kierunkowe: KMiBM_W01
Powiązane efekty obszarowe: T1A_W01, T1A_W07
Efekt 1120-MB000-IZP-0115_W02
Student posiada podstawową wiedzę z teorii szeregów liczbowych i funkcyjnych.
Weryfikacja: Uzyskanie wymaganej regulaminem zaliczenia przedmiotu liczby punktów z tytułu aktywności na zajęciach, kolokwium 2 i egzaminu.
Powiązane efekty kierunkowe: KMiBM_W01
Powiązane efekty obszarowe: T1A_W01, T1A_W07
Efekt 1120-MB000-IZP-0115_W03
Student ma uporządkowaną wiedzę w zakresie podstaw geometrii różniczkowej.
Weryfikacja: Uzyskanie wymaganej regulaminem zaliczenia przedmiotu liczby punktów z tytułu aktywności na zajęciach, kolokwium 2 i egzaminu.
Powiązane efekty kierunkowe: KMiBM_W01
Powiązane efekty obszarowe: T1A_W01, T1A_W07

Profil ogólnoakademicki - umiejętności

Efekt 1120-MB000-IZP-0115_U01
Student potrafi identyfikować typ równania różniczkowego i zastosować odpowiednią metodę jego rozwiązania.
Weryfikacja: Uzyskanie wymaganej regulaminem zaliczenia przedmiotu liczby punktów z tytułu aktywności na zajęciach, kolokwium 1 i egzaminu.
Powiązane efekty kierunkowe: KMiBM_U01
Powiązane efekty obszarowe: T1A_U08, T1A_U09, InzA_U01
Efekt 1120-MB000-IZP-0115_U02
Student potrafi zastosować odpowiednie kryteria do zbadania zbieżności szeregów liczbowych, rozwijać funkcje w szeregi Taylora oraz Maclaurina oraz wyznaczać szeregi Fouriera.
Weryfikacja: Uzyskanie wymaganej regulaminem zaliczeń liczby punktów z tytułu aktywności na zajęciach, kolokwium 2 i egzaminu.
Powiązane efekty kierunkowe: KMiBM_U01
Powiązane efekty obszarowe: T1A_U08, T1A_U09, InzA_U01
Efekt 1120-MB000-IZP-0115_U03
Student potrafi wykorzystać metody analizy matematycznej do badania właściwości krzywych, wyznaczać krzywiznę, torsję oraz elementy trójścianu Freneta.
Weryfikacja: Uzyskanie wymaganej regulaminem zaliczeń liczby punktów z tytułu aktywności na zajęciach, kolokwium 2 i egzaminu.
Powiązane efekty kierunkowe: KMiBM_U01
Powiązane efekty obszarowe: T1A_U08, T1A_U09, InzA_U01

Profil ogólnoakademicki - kompetencje społeczne

Efekt 1120-MB000-IZP-0115_K01
Student jest świadomy rangi posiadania wykształcenia, potrafi określić priorytety służące realizacji tego celu.
Weryfikacja: Kontakt ze studentem na wykładzie i ćwiczeniach
Powiązane efekty kierunkowe: KMiBM_K01
Powiązane efekty obszarowe: T1A_K01