- Nazwa przedmiotu:
- Algebra liniowa w geodezji
- Koordynator przedmiotu:
- Status przedmiotu:
- Obowiązkowy
- Poziom kształcenia:
- Studia I stopnia
- Program:
- Geoinformatyka
- Grupa przedmiotów:
- Obowiązkowe
- Kod przedmiotu:
- 1060-GI000-ISP-1001
- Semestr nominalny:
- 1 / rok ak. 2023/2024
- Liczba punktów ECTS:
- 4
- Liczba godzin pracy studenta związanych z osiągnięciem efektów uczenia się:
- 1) Liczba godzin kontaktowych - 51, w tym:
a) obecność na wykładzie: 15 godzin
b) obecność na ćwiczeniach: 30 godzin
c) konsultacje: 4 godziny
d) egzamin 2 godziny
2) Praca własna studenta - 49, w tym:
a) rozwiązywanie zadań domowych: 14 godzin
b) utrwalenie teorii (praca z literaturą, materiałami z wykładu, przygotowanie do sprawdzianów): 15 godzin
c) przygotowanie do egzaminu: 20 godzin
razem: 100 godzin - 4 punkty ECTS
co odpowiada: 4 punktom ECTS
- Liczba punktów ECTS na zajęciach wymagających bezpośredniego udziału nauczycieli akademickich:
- 2 punkty ECTS - liczba godzin kontaktowych - 51, w tym:
obecność na wykładzie: 15 godzin
obecność na ćwiczeniach: 30 godzin
konsultacje: 4 godziny
egzamin 2 godziny
- Język prowadzenia zajęć:
- polski
- Liczba punktów ECTS, którą student uzyskuje w ramach zajęć o charakterze praktycznym:
- 2,7 punktu ECTS - liczba godzin - 68, w tym:
obecność na ćwiczeniach: 30 godzin
konsultacje: 4 godziny
rozwiązywanie zadań domowych: 14 godzin
przygotowanie do egzaminu: 20 godzin
- Formy zajęć i ich wymiar w semestrze:
-
- Wykład15h
- Ćwiczenia30h
- Laboratorium0h
- Projekt0h
- Lekcje komputerowe0h
- Wymagania wstępne:
- matematyka - zakres szkoły średniej
- Limit liczby studentów:
- -
- Cel przedmiotu:
- Celem przedmiotu jest zapoznanie studenta z te tymi elementami algebry liniowej, które są wykorzystywane w nauczaniu podstawowych przedmiotów geodezyjnych takich, jak rachunek wyrównawczy, opracowywanie klasycznych sieci geodezyjnych, rozwiązywanie zagadnień geodezyjnych z wykorzystaniem pomiarów GNSS, problemy nawigacyjne z wykorzystaniem filtru Kalmana.
Dodatkowo wprowadzane jest szereg bardziej zaawansowanych pojęć rachunku wyrównawczego i obszarów matematyki jak: właściwości przestrzeni wektorowej, arytmetyka liczb zespolonych, złożone operacje na wektorach i macierzach, wartości własne i wektory własne macierzy, ortogonalność oraz rozwiązywanie układów równań liniowych.
- Treści kształcenia:
- - Przestrzenie i podprzestrzenie wektorowe (liniowe), omówienie podstawowych pojęć: przestrzeń liniowa nad ciałem skalarów, aksjomaty przestrzeni, własności przestrzeni
wektorowej i przykłady, podprzestrzeń wektorowa, podprzestrzeń afiniczna, powłoka liniowa i przestrzeń liniowa rozpięta na zbiorze wektorów, liniowa niezależność
wektorów, baza i wymiar przestrzeni wektorowej, przestrzenie nieskończenie wymiarowe.
- Arytmetyka liczb zespolonych: pojęcie jednostki urojonej, moduł i argument liczby zespolonej, argument główny, część rzeczywista i urojona, liczby zespolone jako
wektory na płaszczyźnie, równość liczb zespolonych, trzy postacie liczb zespolonych - algebraiczna, trygonometryczna i wykładnicza, operacje na liczbach zespolonych -
sprzężenie, dodawanie i odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie i pierwiastkowanie, wzory de Moivre’a, podstawowe twierdzenie algebry z wykorzystaniem liczb
zespolonych.
- Wektory w n-wymiarach i macierze: operacje na wektorach, iloczyn skalarny i długość wektora, kąt między wektorami, nierówność Schwarza, równanie płaszczyzny i hiperpłasz-
czyzny w n-wymiarach, odległość punktu od płaszczyzny/hiperpłaszczyzny, układy równań liniowych i ich zapis macierzowy, rozwiązania układów równań liniowych, istnienie
rozwiązań i interpretacja geometryczna.
- Rozwiązywanie układu równań linowych: metoda eliminacji Gaussa i podstawienia wstecznego, pojęcie elementów głównych układu/macierzy, procedura eliminacji
wyrażona przez macierze, pojęcia macierzy rozszerzonej, macierz zamiany wierszy; reguły operacji macierzowych, podział macierzy na bloki i mnożenie blokowe, wyznaczanie iloczynu macierzy metodą “kolumny razy wiersze”, iloczyn diadyczny wektorów; macierze odwrotne, wyznaczanie macierzy odwrotnej metodą eliminacji Gaussa-Jordana; eliminacja Gaussa jako rozkład macierzy na czynniki trójkątne, zamiana układu n równań liniowych z n niewiadomymi na dwa układy trójkątne; transpozycje i permutacje, macierze symetryczne, iloczyny symetryczne, uogólnienie rozkładu A = LU na przypadek procedury eliminacji Gaussa z zamianą wierszy.
- Wyznaczniki: wzór na wyznacznik 2×2, własności wyznaczników, wartość wyznacznika a odwracalność macierzy, rozwiązanie układu równań liniowych z wykorzystaniem wzorów Cramera, rozwinięcie Laplace’a, odwrotność macierzy wyrażona przez dopełnienia algebraiczne.
- Wartości własne i wektory własne macierzy: wprowadzenie do zagadnienia własnego, wielomian charakterystyczny i poszukiwanie jego pierwiastków, suma i iloczyn
wartości własnych jako ślad i wyznacznik macierzy, przypadek pierwiastków zespolonych, wyznaczanie wektorów własnych i problem ich istnienia, wykorzystanie
wartości i wektorów własnych do diagonalizacji macierzy, macierze rzeczywiste symetryczne, macierz ortogonalna, pojęcie formy kwadratowej i dodatnia określoność macierzy.
- Ortogonalność: układy ortogonalne i ortonormalne wektorów w n-wymiarach, macierze ortogonalne, procedura ortogonalizacji Grama-Schmidta, zastosowanie procedury orto-
gonalizacji G-S do znalezienia rozkładu A = QR macierzy A wymiaru n×k,zastosowanie rozkładu A = QR do obliczenia rozwiązania układu nadokreślonego metodą najmniejszych kwadratów.
- Metody oceny:
- Warunkiem zaliczenia ćwiczeń są obecności (co najwyżej jedna może być nieusprawiedliwiona), rozwiązywanie zadań przy tablicy, znajomość bieżącego materiału z wykładu (sprawdzana niezapowiedzianymi 5-minutowymi kartkówkami), wreszcie zaliczenie dwóch godzinnych sprawdzianów cząstkowych (w połowie i pod koniec semestru, przeprowadzanych podczas ćwiczeń natomiast poprawa w dodatkowym czasie).
Egzamin obejmuje cały materiał, ocena końcowa jest średnią z ocen z ćwiczeń i z egzaminu przy nieco wyższej wadze tej pierwszej.
Oceny wpisywane są według zasady: 5,0 – pięć (4,76 – 5,0); 4,5 – cztery i pół (4,26-4,74), 4,0 –cztery (3,76-4,25), 3,5-trzy i pół (3,26-3,75), 3,0-trzy (3,0-3,25).
- Egzamin:
- tak
- Literatura:
- Strang G. and K. Borre (1997). Linear Algebra, Geodesy, and GPS, Wellesley-Cambridge Press, USA.
Bronsztejn I. N., K. A. Siemiendiajew, G. Musiol and H. M¨uhlig (2009). Nowoczesne kompendium matematyki, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa.
Wiśniewski Z. (2005). Rachunek wyrównawczy w geodezji, Wyd. UWM, Olsztyn.
- Witryna www przedmiotu:
- -
- Uwagi:
- brak
Efekty uczenia się
Profil praktyczny - wiedza
- Charakterystyka GI.ISP-1001_W1
- ma wszechstronną wiedzę z algebry liniowej oraz umiejętność interpretacji rozwiązań problemów geodezyjnych na bazie wiedzy z algebry liniowej
Weryfikacja: sprawdziany z wykładu, egzamin
Powiązane charakterystyki kierunkowe:
K_W01
Powiązane charakterystyki obszarowe:
I.P6S_WG
Profil praktyczny - umiejętności
- Charakterystyka GI.ISP-1001_U1
- biegle posługuje się rachunkiem wektorowo – macierzowym w rozwiązywaniu zagadnień geodezyjnych takich jak – aproksymacja metodą najmniejszych kwadratów, zagadnienia sieciowe – z zastosowaniem pojęć algebry liniowej, zastosowanie rozkładów z wykorzystaniem macierzy trójkątnych, rozkładów diagonalizujących oraz związanych z procesem ortogonalizacji
Weryfikacja: zadania domowe, praca przy tablicy, egzamin
Powiązane charakterystyki kierunkowe:
K_U07, K_U09
Powiązane charakterystyki obszarowe:
I.P6S_UW