Drukuj Eksport do pliku (MS Word)
Nazwa przedmiotu:
Topologia
Koordynator przedmiotu:
dr hab. Irmina Herburt, prof. PW / dr hab. Danuta Kołodziejczyk, prof. PW
Status przedmiotu:
Obowiązkowy
Poziom kształcenia:
Studia I stopnia
Program:
Matematyka
Grupa przedmiotów:
Wspólne
Kod przedmiotu:
1120-MA000-LSP-0235
Semestr nominalny:
3 / rok ak. 2023/2024
Liczba punktów ECTS:
5
Liczba godzin pracy studenta związanych z osiągnięciem efektów uczenia się:
Wykłady 15x2=30 Ćwiczenia 15x2=30 Prace domowe 30 Konsultacje 5 Przygotowanie do ćwiczeń 20 Przygotowanie do egzaminu 10 Zaliczenia, egzaminy 4 Razem 129 h = 5 ECTS
Liczba punktów ECTS na zajęciach wymagających bezpośredniego udziału nauczycieli akademickich:
2
Język prowadzenia zajęć:
polski
Liczba punktów ECTS, którą student uzyskuje w ramach zajęć o charakterze praktycznym:
0
Formy zajęć i ich wymiar w semestrze:
  • Wykład30h
  • Ćwiczenia30h
  • Laboratorium0h
  • Projekt0h
  • Lekcje komputerowe0h
Wymagania wstępne:
Elementy logiki i teorii mnogości, Algebra liniowa z geometrią, Analiza Matematyczna i Algebra (wszystkie w zakresie pierwszego roku studiów stacjonarnych).
Limit liczby studentów:
Bez limitu
Cel przedmiotu:
Zapoznanie z podstawowymi pojęciami i metodami Topologii i możliwościami ich zastosowania w innych dziedzinach matematyki.
Treści kształcenia:
1.Wprowadzenie – Topologia jako nauka o niezmiennikach homeomorfizmów, uwagi o topologicznej klasyfikacji przestrzeni. 2.Przestrzenie metryczne. Kule, zbiory otwarte i domknięte w przestrzeniach metrycznych. 3.Przestrzenie topologiczne. Topologia indukowana przez metrykę. Porównywanie topologii. Wnętrze, domknięcie i brzeg w przestrzeniach topologicznych oraz ich własności. Zbiory gęste i brzegowe. 4.Podprzestrzeń przestrzeni topologicznej. Baza topologii, twierdzenie charakteryzacyjne. Iloczyn kartezjański przestrzeni topologicznych. Przestrzenie Hausdorffa. 5.Przekształcenia ciągłe i ich własności, równoważne charakteryzacje ciągłości. Homeomorfizmy i ich niezmienniki. 6.Przestrzenie metryczne zupełne. Zasada Banacha o kontrakcji . Tw. Cantora i Tw. Baire'a. Własność punktu stałego dla przekształceń i przestrzeni. Twierdzenie Brouwera o punkcie stałym (informacyjnie). 7.Przestrzenie zwarte i ich własności. Równoważne warunki zwartości w przestrzeniach metrycznych. Przekształcenia ciągłe przestrzeni zwartych. Tw. Tichonowa o zwartości iloczynu kartezjańskiego przestrzeni zwartych (przypadek skończony). Podzbiory zwarte przestrzeni euklidesowych - charakteryzacja. Ciągłe i różnowartościowe przekształcenie przestrzeni zwartej na przestrzeń Hausdorffa jest homeomorfizmem. Tw. Weierstrasssa. Przestrzenie ośrodkowe. 8.Przestrzenie spójne i ich własności. Przekształcenia ciągłe przestrzeni spójnych. Tw. Darboux. Łukowa spójnosć. Składowe spójnosci. 9.Przestrzenie ilorazowe. O grupie podstawowej, jednospójności i hipotezie Poincarego (informacyjnie)
Metody oceny:
Ćwiczenia – do zdobycia 50 pkt. – za kolokwia (za 20 i 25 pkt.) i za aktywność na zajęciach (5 pkt). Warunkiem koniecznym zaliczenia jest niezerowa aktywność i zaliczenie drugiego kolokwium (na co połowę punktów) oraz uzyskanie co najmniej połowę (25,5 punktów) z ćwiczeń łącznie. Student, który nie zaliczył ćwiczeń może zaliczać je poprzez część zadaniową egzaminu otrzymując wówczas za ćwiczenia i część zadaniową egzaminu 2x uzyskany wynik. Egzamin pisemny 50 pkt. (zadania 20 pkt. + test 30 pkt.). Z części zadaniowej można być zwolnionym, jeśli z ćwiczeń zdobędzie się co najmniej 30,5 punktów. Wtedy za część zadaniową egzaminu otrzymuje się ilość punktów proporcjonalną do wyniku z ćwiczeń. Wstępna ocena z egzaminu jest ustalana na podstawie sumy punktów z ćwiczeń i egzaminu pisemnego (od 51pkt – 3.0, od 61pkt - 3.5, od 71pkt – 4.0, od 81pkt – 4.5, od 91pkt – 5.0). Ostateczna ocena jest ustalana na egzaminie ustnym.
Egzamin:
tak
Literatura:
1. Stanisław Betley, Józef Chaber, Elzbieta Pol i Roman Pol, Topologia (2013). 2. R. Engelking, K. Sieklucki, Geometria I Topologia, cz. II. Topologia, Warszawa, 1980. 3. O. Ya. Viro, O. A. Ivanov, N. Yu. Netsvetaev, V. M. Kharlamo, Elementary Topology Problem Textbook. (dostępna w pdf w Internecie). 4. K. Kuratowski, Wstęp do teorii mnogości i topologii, Warszawa, 2004. 5. C. Kosniowski, Wprowadzenie do topologii algebraicznej, Poznań 1999.
Witryna www przedmiotu:
brak
Uwagi:

Efekty uczenia się

Profil ogólnoakademicki - wiedza

Charakterystyka TOP_W01
Zna podstawowe pojęcia i koncepcje topologii takie jak: przestrzeń metryczna i topologiczna, zbiory otwarte i domknięte, domknięcie i wnętrze w przestrzeniach metrycznych i topologicznych, podprzestrzeń, przestrzeń Hausdorffa, baza przestrzeni topologicznej, produkt kartezjański, przestrzeń ilorazowa, Zna definicje przekształcenia ciągłego i homeomorfizmu oraz równoważne charakteryzacje ciągłości. Rozumie ideę topologicznej klasyfikacji przestrzeni.
Weryfikacja: Egzamin, kolokwia, aktywność na zajęciach
Powiązane charakterystyki kierunkowe: M1_W01, M1_W17
Powiązane charakterystyki obszarowe:
Charakterystyka TOP_W02
Zna definicję zwartości przestrzeni topologicznej, przykłady i podstawowe własności zbiorów zwartych. Zna warunki równoważne zwartości w przestrzeniach metrycznych oraz charakteryzację zwartych podzbiorów przestrzeni euklidesowych. Zna własności przekształceń ciągłych określonych na przestrzeniach zwartych. Zna pojęcie ośrodkowości przestrzeni topologicznej.
Weryfikacja: Egzamin, kolokwia, aktywność na zajęciach
Powiązane charakterystyki kierunkowe: M1_W01, M1_W17
Powiązane charakterystyki obszarowe:
Charakterystyka TOP_W03
Zna pojęcie przestrzeni metrycznej zupełnej i przykłady przestrzeni metrycznych zupełnych. Zna podstawowe własności przestrzeni metrycznych zupełnych, w tym Twierdzenie Banacha o kontrakcji, Twierdzenie Baire’a i przykłady ich zastosowań. Ma elementarną wiedzę o pojęciach takich jak własność punktu stałego przekształceń i przestrzeni.
Weryfikacja: Egzamin, kolokwia, aktywność na zajęciach
Powiązane charakterystyki kierunkowe: M1_W01, M1_W17
Powiązane charakterystyki obszarowe:
Charakterystyka TOP_W04
Zna pojęcia przestrzeni spójnej i łukowo spójnej, najprostsze własności przestrzeni spójnych oraz pojęcie składowych spójności. Zna własności przekształceń ciągłych określonych na przestrzeniach spójnych.
Weryfikacja: Egzamin, kolokwia, aktywność na zajęciach
Powiązane charakterystyki kierunkowe: M1_W17
Powiązane charakterystyki obszarowe:
Charakterystyka TOP_W05
Wie o możliwościach wykorzystania metod topologicznych w innych dyscyplinach matematyki
Weryfikacja: Egzamin, kolokwia, aktywność na zajęciach
Powiązane charakterystyki kierunkowe: M1_W01, M1_W17
Powiązane charakterystyki obszarowe:

Profil ogólnoakademicki - umiejętności

Charakterystyka TOP_U01
Potrafi rozpoznawać podstawowe własności topologiczne podzbiorów przestrzeni metrycznej i topologicznej; znajdować wnętrze, domknięcie i brzeg zbiorów w przestrzeniach metrycznych i topologicznych (ze szczególnym uwzględnieniem podzbiorów przestrzeni euklidesowych).
Weryfikacja: Egzamin, kolokwia, aktywność na zajęciach
Powiązane charakterystyki kierunkowe: M1_U11, M1_U14
Powiązane charakterystyki obszarowe:
Charakterystyka TOP_U02
Potrafi analizować problemy matematyczne i stosować poznane twierdzenia topologiczne do wyciągania wniosków.
Weryfikacja: Egzamin, kolokwia, aktywność na zajęciach
Powiązane charakterystyki kierunkowe: M1_U12, M1_U14, M1_U02, M1_U11
Powiązane charakterystyki obszarowe:
Charakterystyka TOP_U03
Potrafi zastosować poznane twierdzenia w innych dziedzinach matematyki (np. zasadę Banacha o kontrakcji w Analizie, a Twierdzenie Baire’a do dowodu istnienia obiektów o szczególnych własnościach).
Weryfikacja: Egzamin, kolokwia, aktywność na zajęciach
Powiązane charakterystyki kierunkowe: M1_U02, M1_U11, M1_U14
Powiązane charakterystyki obszarowe:

Profil ogólnoakademicki - kompetencje społeczne

Charakterystyka TOP_K01
Rozumie potrzebę uczenia się przez całe życie.
Weryfikacja: Egzamin, kolokwia, aktywność na zajęciach
Powiązane charakterystyki kierunkowe: M1_K01
Powiązane charakterystyki obszarowe:
Charakterystyka TOP_K02
Potrafi odpowiednio określić priorytety służące realizacji określonego zadania
Weryfikacja: Egzamin, kolokwia, aktywność na zajęciach
Powiązane charakterystyki kierunkowe: M1_K03
Powiązane charakterystyki obszarowe:
Charakterystyka TOP_K03
Rozumie potrzebę podnoszenia kompetencji zawodowych i osobistych
Weryfikacja: Egzamin, kolokwia, aktywność na zajęciach
Powiązane charakterystyki kierunkowe: M1_K05
Powiązane charakterystyki obszarowe: