Politechnika
Warszawska

Katalog
ECTS

Nazwa przedmiotu:

Analiza matematyczna 3

Koordynator przedmiotu:

dr Tadeusz Jagodziński; starszy wykładowca; tadeusz.jagodzinski@mini.pw.edu.pl

Status przedmiotu:

Obowiązkowy

Poziom kształcenia:

Studia I stopnia

Program:

Fizyka Techniczna

Grupa przedmiotów:

Obowiązkowe

Kod przedmiotu:

1050-FO000-ISP- 3AM3

Semestr nominalny:

3 / rok ak. 2020/2021

Liczba punktów ECTS:

6

Liczba godzin pracy studenta związanych z osiągnięciem efektów uczenia się:

obecność na wykładach – 30, obecność na ćwiczeniach – 30, przygotowanie do ćwiczeń – 30, przygotowanie do kolokwiów – 10, udział w konsultacjach – 15, zapoznanie się z literaturą – 20, przygotowanie do egzaminu – 15. Razem 150 godzin, co odpowiada 6 pkt. ECTS.

Liczba punktów ECTS na zajęciach wymagających bezpośredniego udziału nauczycieli akademickich:

obecność na wykładach – 30, obecność na ćwiczeniach – 30, udział w konsultacjach – 15. Razem 75 godzin, co odpowiada 3 pkt. ECTS.

Język prowadzenia zajęć:

polski

Liczba punktów ECTS, którą student uzyskuje w ramach zajęć o charakterze praktycznym:

0

Formy zajęć i ich wymiar w semestrze:

• Wykład30h
• Ćwiczenia30h
• Laboratorium0h
• Projekt0h
• Lekcje komputerowe0h

Wymagania wstępne:

Analiza matematyczna 1, Analiza matematyczna 2

Limit liczby studentów:

-

Cel przedmiotu:

Zapoznanie studentów z podstawowymi pojęciami dotyczącymi funkcji zmiennej zespolonej i przekazanie metod funkcji zespolonych do rozwiązywania niektórych zagadnień analizy rzeczywistej. Zapoznanie studentów z podstawowymi typami zagadnień granicznych dla równań różniczkowych cząstkowych i metodami ich rozwiązywania.

Treści kształcenia:

Wykłady: 1. Płaszczyzna zespolona, holomorficzność funkcji, równania Cauchy’ego-Riemanna, funkcje analityczne. 2. Uogólniony wzór całkowy Cauchy’ego i wnioski z niego wypływające, twierdzenie Liouville’a, podstawowe twierdzenie algebry jako wniosek z tw. Liouville’a, holomorficzność a analityczność. 3. Punkty osobliwe, klasyfikacja punktów osobliwych, szeregi Laurenta, związek rozwinięcia na szereg Laurenta z rodzajem osobliwości. 4. Residua, twierdzenie o residuach, zastosowania twierdzenia o residuach do obliczania całek rzeczywistych, lemat Jordana i jego zastosowania. 5. Klasyfikacja RRCz rzędu drugiego w Rn dla n=2 oraz dla n>2. Postać kanoniczna. Zagadnienia graniczne poprawnie postawione. 6. Równanie struny, wzór d’Alemberta dla równania jednorodnego i niejednorodnego (struna nieograniczona). Geometryczna interpretacja rozwiązania. Jednoznaczność i stabilność rozwiązania. 7. Zagadnienia brzegowe dla struny ograniczonej (przypadek ogólny) – rozwiązywanie metodą rozdzielania zmiennych (met. Fouriera) oraz przy pomocy wzoru d’Alemberta. 8. Podstawowe wiadomości o funkcjach Bessela. Membrana kołowa. 9. Równanie przewodnictwa cieplnego, pierwsze zagadnienie Fouriera dla pręta ograniczonego – metoda Fouriera. Zasada maksimum dla równania przewodnictwa. 10. Wzór całkowy Fouriera w postaci rzeczywistej. Zagadnienie Cauchy’ego dla równania przewodnictwa cieplnego dla pręta nieograniczonego. Rozwiązanie podstawowe równania przewodnictwa cieplnego. 11. Zagadnienie stygnącego walca – zastosowanie funkcji Bessela. 12. Równania eliptyczne. Własności funkcji harmonicznych – zastosowanie tożsamości Greena. 13. Zagadnienie Dirichleta dla koła (zewnętrzne i wewnętrzne) – rozwiązywanie metodą rozdzielania zmiennych. Metoda funkcji Greena dla koła. 14. Jednoznaczność i stabilność zagadnienia Dirichleta i Neumanna. Ćwiczenia: 1. Badanie holomorficzności i analityczności funkcji zmiennej zespolonej. 2. Wyznaczanie całek zespolonych za pomocą wzoru całkowego Cauchy’ego. 3. Rozwijanie funkcji na szereg Laurenta i wyznaczanie residuów. 4. Zastosowanie twierdzenia o residuach do obliczania całek zespolonych i rzeczywistych. 5. Zastosowanie metody Fouriera do rozwiązywania pewnych zagadnień granicznych dla równań różniczkowych cząstkowych typu hiperbolicznego i parabolicznego. 6. Zastosowanie wzoru d’Alemberta do pewnych zagadnień typu hiperbolicznego. 7. Zastosowanie wzoru całkowego Fouriera do równania przewodnictwa cieplnego. 8. Zastosowanie funkcji Bessela w obszarach o symetrii walcowej. 9. Metoda funkcji Greena i metoda rozdzielenia zmiennych dla równań eliptycznych.

Metody oceny:

kolokwia i egzamin końcowy

Egzamin:

tak

Literatura:

1) Krysicki W, Włodarski L., Analiza matematyczna w zadaniach, część I i II. Warszawa PWN; 2) Szabat B. W., Wstęp do analizy zespolonej, Warszawa PWN; 3) Kącki R., Siewierski L., Wybrane działy matematyki wyższej z ćwiczeniami, Warszawa WNT;

Witryna www przedmiotu:

-

Uwagi:

-

Efekty uczenia się

Profil ogólnoakademicki - wiedza

Efekt AM3_W01

Ma podbudowaną teoretycznie wiedzę w zakresie wybranych zagadnień teorii funkcji zmiennej zespolonej.
Weryfikacja: Egz. pisemny
Powiązane efekty kierunkowe: FT1_W01
Powiązane efekty obszarowe: X1A_W02, X1A_W03, T1A_W01, T1A_W02, T1A_W03, T1A_W07

Efekt AM3_W02

Ma uporządkowaną wiedzę w zakresie wybranych zagadnień granicznych dla równań różniczkowych cząstkowych.
Weryfikacja: Egz. pisemny
Powiązane efekty kierunkowe: FT1_W01
Powiązane efekty obszarowe: X1A_W02, X1A_W03, T1A_W01, T1A_W02, T1A_W03, T1A_W07

Profil ogólnoakademicki - umiejętności

Efekt AM3_U01

Potrafi wyznaczać całki z pewnych funkcji zespolonych i rzeczywistych za pomocą wzoru całkowego Cauchy’ego i twierdzenia o residuach.
Weryfikacja: Egz. pisemny
Powiązane efekty kierunkowe: FT1_U03, FT1_U04
Powiązane efekty obszarowe: X1A_U01, X1A_U02, T1A_U02, T1A_U07, InzA_U02, InzA_U07, X1A_U01, X1A_U04, T1A_U13, T1A_U15

Efekt AM3_U02

Potrafi znajdować rozwinięcia podstawowych typów funkcji zmiennej zespolonej na szeregi potęgowe i szeregi Laurenta.
Weryfikacja: Egz. pisemny
Powiązane efekty kierunkowe: FT1_U03, FT1_U04
Powiązane efekty obszarowe: X1A_U01, X1A_U02, T1A_U02, T1A_U07, InzA_U02, InzA_U07, X1A_U01, X1A_U04, T1A_U13, T1A_U15

Efekt AM3_U03

Potrafi stosować metodę Fouriera do rozwiązywania wybranych zagadnień granicznych dla równań różniczkowych cząstkowych drugiego rzędu typu hiperbolicznego i parabolicznego.
Weryfikacja: Egz. pisemny
Powiązane efekty kierunkowe: FT1_U03, FT1_U04
Powiązane efekty obszarowe: X1A_U01, X1A_U02, T1A_U02, T1A_U07, InzA_U02, InzA_U07, X1A_U01, X1A_U04, T1A_U13, T1A_U15

Efekt AM3_U04

Potrafi stosować inne wybrane metody do rozwiązywania pewnych zagadnień granicznych dla równań różniczkowych cząstkowych drugiego rzędu wszystkich typów.
Weryfikacja: Egz. pisemny
Powiązane efekty kierunkowe: FT1_U03, FT1_U04
Powiązane efekty obszarowe: X1A_U01, X1A_U02, T1A_U02, T1A_U07, InzA_U02, InzA_U07, X1A_U01, X1A_U04, T1A_U13, T1A_U15

Profil ogólnoakademicki - kompetencje społeczne

Efekt AM3_K01

Rozumie konieczność samokształcenia.
Weryfikacja: Egz. pisemny/ćwiczenia
Powiązane efekty kierunkowe: FT1_K01
Powiązane efekty obszarowe: X1A_K01, X1A_K05, T1A_K01