Politechnika
Warszawska

Katalog
ECTS

Nazwa przedmiotu:

Przedmiot obieralny kontynuowany - Rachunek prawdopodobieństwa 2 / Rachunek prawdopodobieństwa*

Koordynator przedmiotu:

prof. dr hab. Jacek Wesołowski - wersja dwusemestralna / dr Bartosz Kołodziejek - wersja jednosemestralna

Status przedmiotu:

Obowiązkowy

Poziom kształcenia:

Studia I stopnia

Program:

Matematyka

Grupa przedmiotów:

Wspólne

Kod przedmiotu:

1120-MA000-LSP-0356/

Semestr nominalny:

5 / rok ak. 2022/2023

Liczba punktów ECTS:

5

Liczba godzin pracy studenta związanych z osiągnięciem efektów uczenia się:

180 godzin: poświęconych na przyswojenie wiedzy teoretycznej: definicje i twierdzenia z dowodami oraz na rozwijanie umiejętności rozwiązywanie zadań

Liczba punktów ECTS na zajęciach wymagających bezpośredniego udziału nauczycieli akademickich:

4

Język prowadzenia zajęć:

polski

Liczba punktów ECTS, którą student uzyskuje w ramach zajęć o charakterze praktycznym:

2

Formy zajęć i ich wymiar w semestrze:

• Wykład30h
• Ćwiczenia30h
• Laboratorium0h
• Projekt0h
• Lekcje komputerowe0h

Wymagania wstępne:

wersja dwusemestralna: Analiza matematyczna, teoria miary, algebra liniowa, analiza zespolona, elementy analizy funkcjonalnej, rachunek prawdopodobieństwa 1 wersja jednosemestralna: Analiza matematyczna 1 i 2, Algebra liniowa z geometrią, Matematyka dyskretna

Limit liczby studentów:

bez limitu

Cel przedmiotu:

Wersja dwusemestralna: Zapoznanie studentów z drugą częścią zaawansowanego kursu rachunku prawdopodobieństwa Wersja jednosemestralna: Zapoznanie studentów z podstawami rachunku prawdopodobieństwa i jego zastosowań.

Treści kształcenia:

Wersja dwusemestralna: 1. Warunkowa wartość oczekiwana względem σ-ciała oraz względem zmiennej losowej. 2. Regularne rozkłady warunkowe, uogólniony wzór Bayesa. 3. Ciągi zmiennych losowych, miary probabilistyczne w przestrzeni ciągów, warunek zgodności Kołmogorowa. 4. Zbieżność według prawdopodobieństwa, zbieżność z prawdopodobieństwem jeden, warunki konieczne i dostateczne. 5. Zbieżność średniokwadratowa i według p-tego momentu, związki między różnymi typami zbieżności 6. Słabe prawa wielkich liczb, szeregi zmiennych losowych. 7. Nierówność Kołmogorowa, prawo zero-jedynkowe Kołmogorowa. 8. Mocne prawa wielkich liczb, twierdzenie Gliwienki-Cantelliego. 9. Słaba zbieżność miar probabilistycznych, jędrność, zbieżność według rozkładu. 10. Funkcje charakterystyczne, wzory na odwrócenie. 11. Twierdzenie o ciągłości, splot, kryteria dla funkcji charakterystycznych. 12. Centralne twierdzenia graniczne: dla tabilc trójkątnych, Moivre’a-Laplace’a, Lindeberga-Lévy’ego, Lapunowa, wielowymiarowa wersja ctg, metoda delta. 13. Momenty stopu, tożsamość Walda, martyngały. 14. Zagadnienia stopowania, zagadnienie ruiny gracza. 15. Jednostajna całkowalność, zbieżności martyngałów, nierówności martyngałowe. Wersja jednosemestralna: 1. Powtórka z kombinatoryki i elementarnego rachunku zbiorów. 2. Przestrzeń zdarzeń elementarnych z przykładami jej opisu. Ogólna definicja prawdopodobieństwa. Zdarzenia losowe i ich opis. 3. Prawdopodobieństwo klasyczne i geometryczne. Prawdopodobieństwo warunkowe, wzór Bayesa, niezależność zdarzeń, schemat Bernoulli'ego, lemat Borela-Cantelli'ego. 4. Zmienne losowe i metody opisu ich rozkładów. Dystrybuanta. 5. Miary dyskretne, absolutnie ciągłe i mieszane. Przegląd rozkładów dyskretnych i typu ciągłego. 6. Niezależność zmiennych losowych. Zmienne wielowymiarowe. 7. Wartość oczekiwana dla zmiennych prostych z przykładami. Wstęp do teorii miary oraz ogólna definicja wartości oczekiwanej. 8. Funkcje zmiennych losowych i ich rozkłady. 9. Kwantyle, momenty i wariancja zmiennej losowej. Nierówność Czebyszewa. 10. Parametry wektora losowego i wielowymiarowy rozkład normalny. 11. Definicja i podstawowe własności funkcji generujących momenty oraz funkcji charakterystycznej, związki z momentami. 12. Słaba zbieżność rozkładów. 13. Centralne twierdzenie graniczne dla niezależnych zmiennych losowych i jego zastosowania. 14. Słabe prawa wielkich liczb. Zbieżność prawie wszędzie. Mocne prawo wielkich liczb i jego konsekwencje dla statystyki. 15. Warunkowa wartość oczekiwana.

Metody oceny:

Wersja dwusemestralna: Zaliczenie ćwiczeń odbywa się na podstawie 10-13 kartkówek i 2 kolokwiów (w proporcji ok. 1:4). Do zaliczenia ćwiczeń niezbędne jest zdobycie co najmniej 50% punktów. Zaliczenie przedmiotu odbywa się na podstawie egzaminu pisemnego składającego się z dwóch części (zadaniowej i teoretycznej, w proporcjach 3:2). Do zaliczenia przedmiotu niezbędne jest zdobycie co najmniej 50% punktów z egzaminu bądź łącznie z egzaminu i ćwiczeń, przy czym stosunek punktów za egzamin i ćwiczenia to 3:2. Wersja jednosemestralna: Ćwiczenia: pięć kartkówek w semestrze po 4 pkt, dwa kolokwia (po 7 i po 14 ćwiczeniach) po 40 pkt, dodatkowe punkty za aktywność na zajęciach. Egzamin: pisemny 100 pkt, w tym 50 pkt za część zadaniową oraz 50 pkt za część teoretyczną. Każdą z części Z części zadaniowej można być zwolnionym jeśli z ćwiczeń zdobędzie się co najmniej 75 punktów. Wtedy za wynik z części zadaniowej uznaje się wynik z ćwiczeń podzielony przez 2. Jeśli student dostał mniej niż 75 punktów z ćwiczeń, to do jego wyniku z części zadaniowej dodawana (o ile jest dodatnia) jest część całkowita z ilorazu (X-40)/4, gdzie X to liczba punktów uzyskanych na ćwiczeniach. Żeby zaliczyć przedmiot należy przepołowić każdą z części egzaminu. Do zaliczenia przedmiotu liczy się wtedy jedynie suma punktów z części zadaniowej i teoretycznej egzaminu: od 51pkt – 3,0 od 61pkt – 3,5 od 71pkt – 4,0 od 81pkt – 4,5 od 91pkt – 5,0

Egzamin:

tak

Literatura:

Wersja dwusemestralna: 1. J. Jakubowski, R. Sztencel Wstęp do teorii prawdopodobieństwa, SRIPT Warszawa, 2001 2. P. Billingsley Prawdopodobieństwo i miara, PWN Warszawa, 2009 3. W. Feller Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa, t. I i II, PWN Warszawa, 2012. Wersja jednosemestralna: 1. J. S. Rosenthal, A first look at rigorous probability theory, Second edition, World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd. 2006 2. J.Jakubowski, R.Sztencel, Rachunek prawdopodobieństwa dla (prawie) każdego, SCRIPT 2002. 3. J.Misiewicz, Wykłady z rachunku prawdopodobieństwa z zadaniami, SCRIPT 2005. 4. R. Bartoszyński, Magdalena Niewiadomska-Bugaj, Probability and Statistical Inference, Wiley-Interscience 2008.

Witryna www przedmiotu:

brak

Uwagi:

.

Efekty uczenia się

Profil ogólnoakademicki - wiedza

Charakterystyka RP_W01

Zna elementarne konstrukcje rachunku prawdopodobieństwa i podstawowe rozkłady występujące w probabilistyce.
Weryfikacja: Egzamin, kartkówki, rozwiązywanie zadań przy tablicy
Powiązane charakterystyki kierunkowe: M1_W06, M1_W22
Powiązane charakterystyki obszarowe:

Charakterystyka RP_W02

Zna pojęcie zmiennej losowej, wektora losowego, wartości oczekiwanej, wariancji i wyższych momentów zmiennych losowych.
Weryfikacja: Egzamin, kartkówki, rozwiązywanie zadań przy tablicy
Powiązane charakterystyki kierunkowe: M1_W06, M1_W22
Powiązane charakterystyki obszarowe:

Charakterystyka RP_W03

Zna pojęcie funkcji charakterystycznej i związane z tym pojęciem techniki probabilistyczne
Weryfikacja: Egzamin, kartkówki, rozwiązywanie zadań przy tablicy
Powiązane charakterystyki kierunkowe: M1_W23
Powiązane charakterystyki obszarowe:

Charakterystyka RP_W04

Zna nierówność Czebyszewa, centralne twierdzenie graniczne i podstawowe prawa wielkich liczb
Weryfikacja: Egzamin, kartkówki, rozwiązywanie zadań przy tablicy
Powiązane charakterystyki kierunkowe: M1_W05, M1_W23
Powiązane charakterystyki obszarowe:

Charakterystyka RP2_W01

Zna abstrakcyjne pojęcie warunkowej wartości oczekiwanej i rozkładu warunkowego oraz ich własności
Weryfikacja: Egzamin – część teoretyczna, kartkówki na ćwiczeniach
Powiązane charakterystyki kierunkowe: M1_W22
Powiązane charakterystyki obszarowe:

Charakterystyka RP2_W02

Zna pojęcie funkcji charakterystycznej, własności, twierdzenia o odwróceniu i twierdzenie o ciągłości
Weryfikacja: Egzamin – część teoretyczna, kartkówki na ćwiczeniach
Powiązane charakterystyki kierunkowe: M1_W10, M1_W22, M1_W23
Powiązane charakterystyki obszarowe:

Charakterystyka RP2_W03

Zna pojęcie ciągu zmiennych losowych, różne pojęcia zbieżności: według prawdopodobieństw, według p-tego momentu, prawie na pewno, według rozkładu
Weryfikacja: Egzamin – część teoretyczna, kartkówki na ćwiczeniach
Powiązane charakterystyki kierunkowe: M1_W05, M1_W06
Powiązane charakterystyki obszarowe:

Charakterystyka RP2_W04

Zna zagadnienia asymptotyczne probabilistyki: prawa wielkich liczb i centralne twierdzenia graniczne
Weryfikacja: Egzamin – część teoretyczna, kartkówki na ćwiczeniach
Powiązane charakterystyki kierunkowe: M1_W22, M1_W23, M1_W25
Powiązane charakterystyki obszarowe:

Charakterystyka RP2_W05

Zna podstawy teorii martyngałów z czasem dyskretnym
Weryfikacja: Egzamin – część teoretyczna, kartkówki na ćwiczeniach
Powiązane charakterystyki kierunkowe: M1_W25
Powiązane charakterystyki obszarowe:

Profil ogólnoakademicki - umiejętności

Charakterystyka RP_U01

Umie obliczać prawdopodobieństwa zdarzeń w podstawowych modelach probabilistycznych.
Weryfikacja: Egzamin, kartkówki, rozwiązywanie zadań przy tablicy
Powiązane charakterystyki kierunkowe: M1_U20
Powiązane charakterystyki obszarowe:

Charakterystyka RP_U02

Umie znajdować wartość oczekiwaną, wariancję i inne podstawowe parametry rozkładów jedno i wielowymiarowych.
Weryfikacja: Egzamin, kartkówki, rozwiązywanie zadań przy tablicy
Powiązane charakterystyki kierunkowe: M1_U20
Powiązane charakterystyki obszarowe:

Charakterystyka RP_U03

Potrafi stosować nierówność Czebyszewa, centralne twierdzenie graniczne i prawa wielkich liczb w konkretnych problemach aplikacyjnych.
Weryfikacja: Egzamin, kartkówki, rozwiązywanie zadań przy tablicy
Powiązane charakterystyki kierunkowe: M1_U06, M1_U21
Powiązane charakterystyki obszarowe:

Charakterystyka RP2_U01

Potrafi znajdować rozkłady warunkowe i warunkowe wartości oczekiwane, w tym umie posługiwać się uogólnionym wzorem Bayesa
Weryfikacja: Egzamin – część zadaniowa, kolokwia na ćwiczeniach
Powiązane charakterystyki kierunkowe: M1_U20
Powiązane charakterystyki obszarowe:

Charakterystyka RP2_U02

Potrafi znajdować funkcje charakterystyczne różnych rozkładów prawdopodobieństwa, a także posługiwać się wzorami na odwrócenie oraz twierdzeniem o ciągłości w badaniu zbieżności według rozkładu
Weryfikacja: Egzamin – część zadaniowa, kolokwia na ćwiczeniach
Powiązane charakterystyki kierunkowe: M1_U20
Powiązane charakterystyki obszarowe:

Charakterystyka RP2_U03

Umie stosować słabe i mocne prawa wielkich liczb oraz interpretować otrzymywane wyniki. Umie stosować centrale twierdzenie graniczne do różnych zagadnień aplikacyjnych, w tym do metody Monte Carlo
Weryfikacja: Egzamin – część zadaniowa, kolokwia na ćwiczeniach
Powiązane charakterystyki kierunkowe: M1_U21
Powiązane charakterystyki obszarowe:

Charakterystyka RP2_U04

Umie posługiwać się podstawowymi metodami martyngałowymi, w tym tożsamością Walda. Umie badać własności martyngałowe ciągów zmiennych losowych
Weryfikacja: Egzamin – część zadaniowa, kolokwia na ćwiczeniach
Powiązane charakterystyki kierunkowe: M1_U21, M1_U23
Powiązane charakterystyki obszarowe:

Profil ogólnoakademicki - kompetencje społeczne

Charakterystyka RP_K01

Rozumie potrzebę stałego podnoszenia kwalifikacji
Weryfikacja: Egzamin, kartkówki, rozwiązywanie zadań przy tablicy
Powiązane charakterystyki kierunkowe: M1_K01
Powiązane charakterystyki obszarowe:

Charakterystyka RP_K02

Umie prawidłowo określić priorytety służące do realizacji określonego zadania
Weryfikacja: Egzamin, kartkówki, rozwiązywanie zadań przy tablicy
Powiązane charakterystyki kierunkowe: M1_K03, M1_K05
Powiązane charakterystyki obszarowe:

Charakterystyka RP2_K01

Rozumie potrzebę stałego podnoszenia kwalifikacji
Weryfikacja: Kolokwia
Powiązane charakterystyki kierunkowe: M1_K05, M1_K01
Powiązane charakterystyki obszarowe:

Charakterystyka RP2_K02

Umie prawidłowo określić priorytety służące do realizacji określonego zadania
Weryfikacja: Kolokwia
Powiązane charakterystyki kierunkowe: M1_K03
Powiązane charakterystyki obszarowe: